Theorem ndmov 6716

Description: The value of an operation outside its domain. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ndmov.1	⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ndmov	⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ndmov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndmov.1	. 2 ⊢ dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆)
2		ndmovg 6715	. 2 ⊢ ((dom 𝐹 = (𝑆 × 𝑆) ∧ ¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   × cxp 5036  dom cdm 5038  (class class class)co 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  ndmovcl  6717  ndmovrcl  6718  ndmovcom  6719  ndmovass  6720  ndmovdistr  6721  om0x  7486  oaabs2  7612  omabs  7614  eceqoveq  7740  elpmi  7762  elmapex  7764  pmresg  7771  pmsspw  7778  cdacomen  8886  cdadom1  8891  cdainf  8897  pwcdadom  8921  addnidpi  9602  adderpq  9657  mulerpq  9658  elixx3g  12059  ndmioo  12073  elfz2  12204  fz0  12227  elfzoel1  12337  elfzoel2  12338  fzoval  12340  fzofi  12635  restsspw  15915  fucbas  16443  fuchom  16444  xpcbas  16641  xpchomfval  16642  xpccofval  16645  restrcl  20771  ssrest  20790  resstopn  20800  iocpnfordt  20829  icomnfordt  20830  nghmfval  22336  isnghm  22337  topnfbey  26717  cvmtop1  30496  cvmtop2  30497