Theorem constr3pthlem1 26183

Description: Lemma for constr3pth 26188. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p	⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem1	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Proof of Theorem constr3pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4128	. . . . . . 7 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩})
2	1	reseq1i 5313	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) ↾ {1, 2})
3		resundir 5331	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
4	2, 3	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
5		0ne1 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
6		0ne2 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 2
7	5, 6	nelpri 4149	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ {1, 2}
8		ressnop0 6325	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ {1, 2} → ({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅
10	9	uneq1i 3725	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
11		uncom 3719	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = (({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅)
12		un0 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})
13	11, 12	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})
14		1re 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
15	14	jctl 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
17		funsng 5851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Fun {⟨1, 𝐵⟩})
18		funrel 5821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun {⟨1, 𝐵⟩} → Rel {⟨1, 𝐵⟩})
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → Rel {⟨1, 𝐵⟩})
20		dmsnopss 5525	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1}
21		snsspr1 4285	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ⊆ {1, 2}
22	20, 21	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1, 2}
23		relssres 5357	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨1, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1, 2}) → ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
24	19, 22, 23	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
25	13, 24	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨1, 𝐵⟩})
26	10, 25	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨1, 𝐵⟩})
27	4, 26	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
28		df-pr 4128	. . . . . . 7 ⊢ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} = ({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩})
29	28	reseq1i 5313	. . . . . 6 ⊢ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2})
30		resundir 5331	. . . . . 6 ⊢ (({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
31	29, 30	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
32		1lt3 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
33	14, 32	gtneii 10028	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 1
34		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
35		2lt3 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
36	34, 35	gtneii 10028	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 2
37	33, 36	nelpri 4149	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
38		ressnop0 6325	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 3 ∈ {1, 2} → ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅
40	39	uneq2i 3726	. . . . . 6 ⊢ (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅)
41		un0 3919	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2})
42		2z 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
43		funsng 5851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → Fun {⟨2, 𝐶⟩})
44	42, 43	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → Fun {⟨2, 𝐶⟩})
45		funrel 5821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun {⟨2, 𝐶⟩} → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
47	46	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
48		dmsnopss 5525	. . . . . . . . 9 ⊢ dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {2}
49		snsspr2 4286	. . . . . . . . 9 ⊢ {2} ⊆ {1, 2}
50	48, 49	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {1, 2}
51		relssres 5357	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨2, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {1, 2}) → ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
52	47, 50, 51	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
53	41, 52	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = {⟨2, 𝐶⟩})
54	40, 53	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨2, 𝐶⟩})
55	31, 54	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
56	27, 55	uneq12d 3730	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = ({⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}))
57		resundir 5331	. . 3 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
58		df-pr 4128	. . 3 ⊢ {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
59	56, 57, 58	3eqtr4g 2669	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
60		constr3cycl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
61		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}))
62		constr3cycl.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
63	62, 60	constr3lem2 26174	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘𝐹) = 3
64	63	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3)
65		3z 11287	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
66		fzoval 12340	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1..^3) = (1...(3 − 1)))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) = (1...(3 − 1))
68		3m1e2 11014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
69		df-2 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
70	68, 69	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = (1 + 1)
71	70	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...(1 + 1))
72		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
73		fzpr 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
75		1p1e2 11011	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
76	75	preq2i 4216	. . . . . . . 8 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
77	71, 74, 76	3eqtri 2636	. . . . . . 7 ⊢ (1...(3 − 1)) = {1, 2}
78	64, 67, 77	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2}
79	78	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2})
80	61, 79	reseq12d 5318	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}))
81	80	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
82	60, 81	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
83	59, 82	sylibr 223	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  26184