Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3pthlem1 26183
 Description: Lemma for constr3pth 26188. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem1 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})

Proof of Theorem constr3pthlem1
StepHypRef Expression
1 df-pr 4128 . . . . . . 7 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩})
21reseq1i 5313 . . . . . 6 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) ↾ {1, 2})
3 resundir 5331 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨1, 𝐵⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
42, 3eqtri 2632 . . . . 5 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
5 0ne1 10965 . . . . . . . . 9 0 ≠ 1
6 0ne2 11116 . . . . . . . . 9 0 ≠ 2
75, 6nelpri 4149 . . . . . . . 8 ¬ 0 ∈ {1, 2}
8 ressnop0 6325 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ {1, 2} → ({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅
109uneq1i 3725 . . . . . 6 (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}))
11 uncom 3719 . . . . . . . 8 (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = (({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅)
12 un0 3919 . . . . . . . 8 (({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})
1311, 12eqtri 2632 . . . . . . 7 (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})
14 1re 9918 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1514jctl 562 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → (1 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑉))
17 funsng 5851 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑉) → Fun {⟨1, 𝐵⟩})
18 funrel 5821 . . . . . . . . 9 (Fun {⟨1, 𝐵⟩} → Rel {⟨1, 𝐵⟩})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → Rel {⟨1, 𝐵⟩})
20 dmsnopss 5525 . . . . . . . . 9 dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1}
21 snsspr1 4285 . . . . . . . . 9 {1} ⊆ {1, 2}
2220, 21sstri 3577 . . . . . . . 8 dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1, 2}
23 relssres 5357 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨1, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨1, 𝐵⟩} ⊆ {1, 2}) → ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
2419, 22, 23sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
2513, 24syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (∅ ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨1, 𝐵⟩})
2610, 25syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨1, 𝐵⟩})
274, 26syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩})
28 df-pr 4128 . . . . . . 7 {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} = ({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩})
2928reseq1i 5313 . . . . . 6 ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2})
30 resundir 5331 . . . . . 6 (({⟨2, 𝐶⟩} ∪ {⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
3129, 30eqtri 2632 . . . . 5 ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
32 1lt3 11073 . . . . . . . . . 10 1 < 3
3314, 32gtneii 10028 . . . . . . . . 9 3 ≠ 1
34 2re 10967 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
35 2lt3 11072 . . . . . . . . . 10 2 < 3
3634, 35gtneii 10028 . . . . . . . . 9 3 ≠ 2
3733, 36nelpri 4149 . . . . . . . 8 ¬ 3 ∈ {1, 2}
38 ressnop0 6325 . . . . . . . 8 (¬ 3 ∈ {1, 2} → ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = ∅
4039uneq2i 3726 . . . . . 6 (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅)
41 un0 3919 . . . . . . 7 (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2})
42 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
43 funsng 5851 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝑊) → Fun {⟨2, 𝐶⟩})
4442, 43mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑊 → Fun {⟨2, 𝐶⟩})
45 funrel 5821 . . . . . . . . . 10 (Fun {⟨2, 𝐶⟩} → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑊 → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → Rel {⟨2, 𝐶⟩})
48 dmsnopss 5525 . . . . . . . . 9 dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {2}
49 snsspr2 4286 . . . . . . . . 9 {2} ⊆ {1, 2}
5048, 49sstri 3577 . . . . . . . 8 dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {1, 2}
51 relssres 5357 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨2, 𝐶⟩} ∧ dom {⟨2, 𝐶⟩} ⊆ {1, 2}) → ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
5247, 50, 51sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
5341, 52syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ∅) = {⟨2, 𝐶⟩})
5440, 53syl5eq 2656 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (({⟨2, 𝐶⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = {⟨2, 𝐶⟩})
5531, 54syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}) = {⟨2, 𝐶⟩})
5627, 55uneq12d 3730 . . 3 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2})) = ({⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩}))
57 resundir 5331 . . 3 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ↾ {1, 2}) ∪ ({⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩} ↾ {1, 2}))
58 df-pr 4128 . . 3 {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} = ({⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩})
5956, 57, 583eqtr4g 2669 . 2 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
60 constr3cycl.p . . 3 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
61 id 22 . . . . 5 (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}))
62 constr3cycl.f . . . . . . . . 9 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
6362, 60constr3lem2 26174 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = 3
6463oveq2i 6560 . . . . . . 7 (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3)
65 3z 11287 . . . . . . . 8 3 ∈ ℤ
66 fzoval 12340 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (1..^3) = (1...(3 − 1)))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 (1..^3) = (1...(3 − 1))
68 3m1e2 11014 . . . . . . . . . 10 (3 − 1) = 2
69 df-2 10956 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
7068, 69eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (3 − 1) = (1 + 1)
7170oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (1...(3 − 1)) = (1...(1 + 1))
72 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
73 fzpr 12266 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
75 1p1e2 11011 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
7675preq2i 4216 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
7771, 74, 763eqtri 2636 . . . . . . 7 (1...(3 − 1)) = {1, 2}
7864, 67, 773eqtri 2636 . . . . . 6 (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2}
7978a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2})
8061, 79reseq12d 5318 . . . 4 (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}))
8180eqeq1d 2612 . . 3 (𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) → ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩}))
8260, 81ax-mp 5 . 2 ((𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩} ↔ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩}) ↾ {1, 2}) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
8359, 82sylibr 223 1 ((𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) = {⟨1, 𝐵⟩, ⟨2, 𝐶⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  constr3pthlem2  26184
 Copyright terms: Public domain W3C validator