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Theorem nnsum4primeseven 40216
 Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 40214 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
21imp 444 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
3 simplll 794 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
4 6nn 11066 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
54nnzi 11278 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 6 ∈ ℤ)
7 3z 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℤ)
9 6p3e9 11047 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 3) = 9
109eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . 13 9 = (6 + 3)
1110fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘9) = (ℤ‘(6 + 3))
1211eleq2i 2680 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
1312biimpi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
14 eluzsub 11593 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
156, 8, 13, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1716ad3antlr 763 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
18 3odd 40155 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
2019anim1i 590 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2221ancomd 466 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25 emoo 40151 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27 nnsum4primesodd 40212 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
2827imp 444 . . . . . . 7 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
293, 17, 26, 28syl12anc 1316 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
30 elmapi 7765 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
32 4z 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℤ
33 fzonel 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ¬ 4 ∈ (1..^4)
34 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1..^4) = (1...(4 − 1))
36 4cn 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 ∈ ℂ
37 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℂ
38 3cn 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ ℂ
3936, 37, 383pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
40 3p1e4 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 + 1) = 4
41 subadd2 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
4240, 41mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
4339, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 − 1) = 3
4443oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1...(4 − 1)) = (1...3)
4535, 44eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^4) = (1...3)
4645eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...3) = (1..^4)
4746eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
4833, 47mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 4 ∈ (1...3)
4932, 48pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
51 3prm 15244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℙ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
53 fsnunf 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
5431, 50, 52, 53syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
55 fzval3 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
5632, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...4) = (1..^(4 + 1))
57 1z 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℤ
58 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
59 4re 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℝ
60 1lt4 11076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < 4
6158, 59, 60ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≤ 4
62 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
6357, 32, 61, 62mpbir3an 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ (ℤ‘1)
64 fzosplitsn 12442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
6645uneq1i 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
6756, 65, 663eqtri 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
6867feq2i 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
6954, 68sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
70 prmex 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℙ ∈ V
71 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) ∈ V
7270, 71pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
73 elmapg 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7569, 74mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
77 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7978sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
8079eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
8367eleq2i 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
84 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
85 velsn 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
8685orbi2i 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
8783, 84, 863bitri 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
88 elfz2 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
89 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 ∈ ℝ
9089, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
91 3lt4 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 < 4
92 ltnle 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
9391, 92mpbii 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
9490, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ¬ 4 ≤ 3
95 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9695eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9794, 96mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
9998necon2ad 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
10099adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
1011003ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
102101imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
10388, 102sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
105 fvunsn 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
107 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
108107ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
109 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
111110zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
112106, 111eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
113112ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114113adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
115 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
11632a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
118 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
119 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
12048, 119mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121118, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
122 fsnunfv 6358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123116, 117, 121, 122syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
125115, 124sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
126125, 38syl6eqel 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
127126ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128114, 127jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
129128com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
13087, 129syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
131130imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
13282, 131, 115fsumm1 14324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
13443eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 = (4 − 1)
135134oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...3) = (1...(4 − 1))
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
137103adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
138137, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
139138eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140136, 139sumeq12dv 14284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
141140eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
142141biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
143142eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
144143oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
14532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1467a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
147121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
148145, 146, 147, 122syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
149148oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
150 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
15138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
152150, 151npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
154149, 153eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
156133, 144, 1553eqtrrd 2649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
15776, 81, 156rspcedvd 3289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
158157ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
159158expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
16030, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
161160com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
162161rexlimdv 3012 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
163162adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
164163ad3antlr 763 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
16529, 164mpd 15 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
166165ex 449 . . . 4 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
167166rexlimdva 3013 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
1682, 167mpd 15 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
169168ex 449 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  9c9 10954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  Σcsu 14264  ℙcprime 15223   Even ceven 40075   Odd codd 40076   GoldbachOdd cgbo 40168 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-even 40077  df-odd 40078  df-gbo 40171 This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  40218
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