MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Unicode version

Theorem fzoval 11805
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
2 oveq1 6277 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
31, 2oveqan12d 6289 . . 3  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( m ... (
n  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
4 df-fzo 11800 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
5 ovex 6298 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
63, 4, 5ovmpt2a 6406 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
7 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
87con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 fzof 11801 . . . . . . 7  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
109fdmi 5718 . . . . . 6  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6432 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
128, 11syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
13 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
1413con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
15 fzf 11679 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
1615fdmi 5718 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1716ndmov 6432 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  =  (/) )
1814, 17syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  (/) )
1912, 18eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2019adantr 463 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
216, 20pm2.61ian 788 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999    X. cxp 4986  (class class class)co 6270   1c1 9482    - cmin 9796   ZZcz 10860   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  elfzo  11806  fzon  11823  fzoss1  11829  fzoss2  11830  fzval3  11866  fzo0to2pr  11880  fzo0to3tp  11881  fzo0to42pr  11882  fzoend  11884  fzofzp1b  11891  elfzom1b  11892  peano2fzor  11898  fzoshftral  11904  zmodfzo  12000  zmodidfzo  12007  fzofi  12066  hashfzo  12471  revcl  12726  revlen  12727  revccat  12731  revrev  12732  revco  12791  fzosump1  13649  telfsumo  13698  fsumparts  13702  geoser  13760  geo2sum2  13765  dfphi2  14388  reumodprminv  14413  gsumwsubmcl  16205  gsumccat  16208  gsumwmhm  16212  efgsdmi  16949  efgs1b  16953  efgredlemf  16958  efgredlemd  16961  efgredlemc  16962  efgredlem  16964  cpmadugsumlemF  19544  advlogexp  23204  dchrisumlem1  23872  wlkntrllem2  24764  redwlk  24810  constr3pthlem1  24857  constr3pthlem3  24859  wlkiswwlk2lem3  24895  clwlkisclwwlklem2a  24987  eulerpartlemd  28569  fzssfzo  28754  signstfvn  28790  bccbc  31491  monoords  31735  stirlinglem12  32106  nn0sumshdiglemA  33494  nn0sumshdiglemB  33495
  Copyright terms: Public domain W3C validator