MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Unicode version

Theorem fzoval 11798
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
2 oveq1 6291 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
31, 2oveqan12d 6303 . . 3  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( m ... (
n  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
4 df-fzo 11793 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
5 ovex 6309 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
63, 4, 5ovmpt2a 6417 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
7 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
87con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 fzof 11794 . . . . . . 7  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
109fdmi 5736 . . . . . 6  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6443 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
128, 11syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
1413con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
15 fzf 11676 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
1615fdmi 5736 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1716ndmov 6443 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  =  (/) )
1814, 17syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  (/) )
1912, 18eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
216, 20pm2.61ian 788 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010    X. cxp 4997  (class class class)co 6284   1c1 9493    - cmin 9805   ZZcz 10864   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-neg 9808  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793
This theorem is referenced by:  elfzo  11799  fzon  11815  fzoss1  11820  fzoss2  11821  fzval3  11853  fzo0to2pr  11867  fzo0to3tp  11868  fzo0to42pr  11869  fzoend  11871  fzofzp1b  11878  elfzom1b  11879  peano2fzor  11885  fzoshftral  11891  zmodfzo  11986  zmodidfzo  11993  fzofi  12052  hashfzo  12452  revcl  12698  revlen  12699  revccat  12703  revrev  12704  revco  12763  fzosump1  13530  telfsumo  13579  fsumparts  13583  geoser  13641  geo2sum2  13646  dfphi2  14163  reumodprminv  14188  gsumwsubmcl  15838  gsumccat  15841  gsumwmhm  15845  efgsdmi  16556  efgs1b  16560  efgredlemf  16565  efgredlemd  16568  efgredlemc  16569  efgredlem  16571  cpmadugsumlemF  19172  advlogexp  22792  dchrisumlem1  23430  wlkntrllem2  24266  redwlk  24312  constr3pthlem1  24359  constr3pthlem3  24361  wlkiswwlk2lem3  24397  clwlkisclwwlklem2a  24489  eulerpartlemd  27973  fzssfzo  28158  signstfvn  28194  monoords  31101  stirlinglem12  31413
  Copyright terms: Public domain W3C validator