MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Unicode version

Theorem fzoval 11554
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
2 oveq1 6098 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
31, 2oveqan12d 6110 . . 3  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( m ... (
n  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
4 df-fzo 11549 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
5 ovex 6116 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
63, 4, 5ovmpt2a 6221 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
7 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
87con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 fzof 11550 . . . . . . 7  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
109fdmi 5564 . . . . . 6  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6247 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
128, 11syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
1413con3i 135 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
15 fzf 11441 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
1615fdmi 5564 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1716ndmov 6247 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  =  (/) )
1814, 17syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  (/) )
1912, 18eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2019adantr 465 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
216, 20pm2.61ian 788 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860    X. cxp 4838  (class class class)co 6091   1c1 9283    - cmin 9595   ZZcz 10646   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-neg 9598  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549
This theorem is referenced by:  elfzo  11555  fzon  11571  fzoss1  11576  fzoss2  11577  fzval3  11605  fzo0to2pr  11614  fzo0to3tp  11615  fzo0to42pr  11616  fzoend  11618  fzofzp1b  11625  elfzom1b  11626  peano2fzor  11632  fzoshftral  11636  zmodfzo  11730  zmodidfzo  11737  fzofi  11796  hashfzo  12190  revcl  12401  revlen  12402  revccat  12406  revrev  12407  revco  12462  fzosump1  13221  fsumtscopo  13265  fsumparts  13269  geoser  13329  geo2sum2  13334  dfphi2  13849  reumodprminv  13872  gsumwsubmcl  15516  gsumccat  15519  gsumwmhm  15523  efgsdmi  16229  efgs1b  16233  efgredlemf  16238  efgredlemd  16241  efgredlemc  16242  efgredlem  16244  advlogexp  22100  dchrisumlem1  22738  wlkntrllem2  23459  redwlk  23505  constr3pthlem1  23541  constr3pthlem3  23543  eulerpartlemd  26749  fzssfzo  26934  signstfvn  26970  stirlinglem12  29880  wlkiswwlk2lem3  30327  clwlkisclwwlklem2a  30447
  Copyright terms: Public domain W3C validator