Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlkiswwlksupgr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkiswwlksupgr2 41074
 Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a pseudograph. This variant of 1wlkiswwlks2 41072 does not require 𝐺 to be a simple pseudograph, but it requires the Axiom of Choice (ac6 9185) for its proof. Notice that only the existence of a function 𝑓 can be proven, but, in general, it cannot be "constructed" (as in 1wlkiswwlks2 41072). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
1wlkiswwlksupgr2 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1wlkiswwlksupgr2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2iswwlks 41039 . 2 (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 edgaval 25794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
54eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ UPGraph → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
65adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
7 upgruhgr 25768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
98uhgrfun 25732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ UPGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → Fun (iEdg‘𝐺))
12 elrnrexdm 6271 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
13 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1413rexbii 3023 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
1512, 14syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (iEdg‘𝐺) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
176, 16sylbid 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1817ralimdv 2946 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
1918ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2019com23 84 . . . . . . . 8 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
21203impia 1253 . . . . . . 7 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2221impcom 445 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
23 ovex 6577 . . . . . . 7 (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V
24 fvex 6113 . . . . . . . 8 (iEdg‘𝐺) ∈ V
2524dmex 6991 . . . . . . 7 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
26 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑓𝑖) → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)))
2726eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝑖) → (((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2823, 25, 27ac6 9185 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} → ∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2922, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
30 iswrdi 13164 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
33 wrdfin 13178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃 ∈ Fin)
34 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ Fin → ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ≠ ∅))
3534bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Fin → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ))
3736biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
38 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
39 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
40 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...((#‘𝑃) − 1)))
43 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
44 fnfzo0hash 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
4543, 44sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
4645eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝑃) − 1) = (#‘𝑓))
4746oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0...((#‘𝑃) − 1)) = (0...(#‘𝑓)))
4842, 47eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑃)) = (0...(#‘𝑓)))
4948feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5049biimpcd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5150expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5238, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))))
5437, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
55543adant3 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5756com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺)))
5958impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺))
60 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
6137, 45sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (#‘𝑓) = ((#‘𝑃) − 1))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6362ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
64633adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
6564adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1))))
6665imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
6867raleqdv 3121 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
6960, 68mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
7069anasss 677 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
7132, 59, 703jca 1235 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
7271ex 449 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ((𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7372eximdv 1833 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓(𝑓:(0..^((#‘𝑃) − 1))⟶dom (iEdg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
7429, 73mpd 15 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
75 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐺 ∈ UPGraph )
76 vex 3176 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
7776a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑓 ∈ V)
78 simpr2 1061 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
791, 8upgriswlk 40849 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
8075, 77, 78, 79syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
8180exbidv 1837 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
8274, 81mpbird 246 . . 3 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃)
8382ex 449 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
843, 83syl5bi 231 1 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UHGraph cuhgr 25722   UPGraph cupgr 25747  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796  WWalkScwwlks 41028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wwlks 41033 This theorem is referenced by:  1wlkiswwlkupgr  41075  1wlklnwwlklnupgr2  41082
 Copyright terms: Public domain W3C validator