Theorem efgs1b 17972

Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1b	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 3695	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
2		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2706	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
4		efgval.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
5		efgval.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
6		efgval2.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
7		efgval2.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
8		efgred.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
9	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdm 17966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴‘𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
10	9	simp1bi 1069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11		eldifsn 4260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		lennncl 13180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
14	10, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
15		elnn1uz2 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
16	14, 15	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
17	16	ord 391	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	10	eldifad 3552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20		wrdf 13165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
22		1z 11284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
24		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
26	23, 25	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
27		eluzp1m1 11587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
28	22, 26, 27	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
29		nnuz 11599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
30	28, 29	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31		lbfzo0 12375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylibr 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
33		fzoend 12425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
34		elfzofz 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
36		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
38		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
40	35, 39	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
41	21, 40	ffvelrnd 6268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42		uz2m1nn 11639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
43	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsdmi 17968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
44	42, 43	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
45		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
46	45	rneqd 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
47	46	eliuni 4462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
48	41, 44, 47	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎))
49		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑇‘𝑎) = (𝑇‘𝑥))
50	49	rneqd 5274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇‘𝑎) = ran (𝑇‘𝑥))
51	50	cbviunv 4495	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑎 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑎) = ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)
52	48, 51	syl6eleq 2698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
53	52	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
54	17, 53	syld 46	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)))
55	54	con1d 138	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆‘𝐴) ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥) → (#‘𝐴) = 1))
56	3, 55	syl5 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 → (#‘𝐴) = 1))
57	9	simp2bi 1070	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59		1m1e0 10966	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 1) = 0
60	58, 59	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = 0)
61	60	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
62	61	eleq1d 2672	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
63	57, 62	syl5ibrcom 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
64	4, 5, 6, 7, 2, 8	efgsval 17967	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐴) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
65	64	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
66	63, 65	sylibrd 248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((#‘𝐴) = 1 → (𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷))
67	56, 66	impbid 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆‘𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~_FG cefg 17942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154

This theorem is referenced by:  efgredlema  17976  efgredeu  17988