Theorem elfzofz 12354

Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzofz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzouz 12343	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzouz2 12353	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		elfzuzb 12207	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)))
4	1, 2, 3	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  fzossfz  12357  elfzom1elp1fzo  12402  uzindi  12643  2swrdeqwrdeq  13305  telfsumo  14375  telfsumo2  14376  fsumparts  14379  prodfn0  14465  hashgcdlem  15331  cshwshashlem2  15641  efgs1b  17972  efgredlem  17983  cpmadugsumlemF  20500  dvfsumle  23588  dvfsumabs  23590  dvntaylp  23929  taylthlem1  23931  taylthlem2  23932  pntpbnd1  25075  pntlemj  25092  pntlemi  25093  pntlemf  25094  wlkdvspthlem  26137  clwwisshclww  26335  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  elfzfzo  38429  dvnmptdivc  38828  fourierdlem1  39001  fourierdlem12  39012  fourierdlem14  39014  fourierdlem15  39015  fourierdlem20  39020  fourierdlem25  39025  fourierdlem27  39027  fourierdlem41  39041  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem54  39053  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem69  39068  fourierdlem70  39069  fourierdlem71  39070  fourierdlem72  39071  fourierdlem73  39072  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem76  39075  fourierdlem79  39078  fourierdlem80  39079  fourierdlem81  39080  fourierdlem84  39083  fourierdlem85  39084  fourierdlem88  39087  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  fourierdlem92  39091  fourierdlem93  39092  fourierdlem94  39093  fourierdlem97  39096  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  fourierdlem113  39112  fourierdlem114  39113  iccpartiltu  39960  iccelpart  39971  iccpartiun  39972  icceuelpartlem  39973  icceuelpart  39974  iccpartdisj  39975  iccpartnel  39976  pfxsuffeqwrdeq  40269  upgrewlkle2  40808  1wlk1walk  40843  1wlkp1lem6  40887  trlreslem  40907  upgrwlkdvdelem  40942  crctcsh1wlkn0lem4  41016  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem6  41018  clwwisshclwws  41235  trlsegvdeglem1  41388