MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfzofz 11965
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11954 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 elfzouz2 11964 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 elfzuzb 11822 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 675 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ZZ>=cuz 11187   ...cfz 11812  ..^cfzo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946
This theorem is referenced by:  fzossfz  11968  elfzom1elp1fzo  12011  uzindi  12225  2swrdeqwrdeq  12845  telfsumo  13910  telfsumo2  13911  fsumparts  13914  prodfn0  13998  cshwshashlem2  15115  efgs1b  17434  efgredlem  17445  cpmadugsumlemF  19948  dvfsumle  23021  dvfsumabs  23023  dvntaylp  23374  taylthlem1  23376  taylthlem2  23377  pntpbnd1  24472  pntlemj  24489  pntlemi  24490  pntlemf  24491  wlkdvspthlem  25385  clwwisshclww  25583  poimirlem24  32008  poimirlem25  32009  poimirlem29  32013  poimirlem31  32015  hashgcdlem  36118  elfzfzo  37523  dvnmptdivc  37850  fourierdlem1  38007  fourierdlem12  38018  fourierdlem14  38020  fourierdlem15  38021  fourierdlem20  38026  fourierdlem25  38031  fourierdlem27  38033  fourierdlem41  38048  fourierdlem46  38053  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem50  38057  fourierdlem54  38061  fourierdlem63  38070  fourierdlem64  38071  fourierdlem65  38072  fourierdlem69  38076  fourierdlem70  38077  fourierdlem71  38078  fourierdlem72  38079  fourierdlem73  38080  fourierdlem74  38081  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem80  38087  fourierdlem81  38088  fourierdlem84  38091  fourierdlem85  38092  fourierdlem88  38095  fourierdlem89  38096  fourierdlem90  38097  fourierdlem91  38098  fourierdlem92  38099  fourierdlem93  38100  fourierdlem94  38101  fourierdlem97  38104  fourierdlem102  38109  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem111  38118  fourierdlem113  38120  fourierdlem114  38121  iccpartiltu  38773  iccelpart  38784  iccpartiun  38785  icceuelpartlem  38786  icceuelpart  38787  iccpartdisj  38788  iccpartnel  38789  pfxsuffeqwrdeq  38986  upgrewlkle2  39672  1wlk1walk  39696  upgrwlkdvdelem  39767
  Copyright terms: Public domain W3C validator