MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Unicode version

Theorem elfzofz 11881
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11870 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 elfzouz2 11880 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 elfzuzb 11740 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 668 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   ZZ>=cuz 11105   ...cfz 11730  ..^cfzo 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-fzo 11862
This theorem is referenced by:  fzossfz  11884  elfzom1elp1fzo  11926  uzindi  12139  2swrdeqwrdeq  12750  telfsumo  13800  telfsumo2  13801  fsumparts  13804  prodfn0  13888  cshwshashlem2  15005  efgs1b  17324  efgredlem  17335  cpmadugsumlemF  19837  dvfsumle  22910  dvfsumabs  22912  dvntaylp  23263  taylthlem1  23265  taylthlem2  23266  pntpbnd1  24361  pntlemj  24378  pntlemi  24379  pntlemf  24380  wlkdvspthlem  25274  clwwisshclww  25472  poimirlem24  31871  poimirlem25  31872  poimirlem29  31876  poimirlem31  31878  hashgcdlem  35987  elfzfzo  37383  dvnmptdivc  37696  fourierdlem1  37853  fourierdlem12  37864  fourierdlem14  37866  fourierdlem15  37867  fourierdlem20  37872  fourierdlem25  37877  fourierdlem27  37879  fourierdlem41  37894  fourierdlem46  37899  fourierdlem48  37901  fourierdlem49  37902  fourierdlem50  37903  fourierdlem54  37907  fourierdlem63  37916  fourierdlem64  37917  fourierdlem65  37918  fourierdlem69  37922  fourierdlem70  37923  fourierdlem71  37924  fourierdlem72  37925  fourierdlem73  37926  fourierdlem74  37927  fourierdlem75  37928  fourierdlem76  37929  fourierdlem79  37932  fourierdlem80  37933  fourierdlem81  37934  fourierdlem84  37937  fourierdlem85  37938  fourierdlem88  37941  fourierdlem89  37942  fourierdlem90  37943  fourierdlem91  37944  fourierdlem92  37945  fourierdlem93  37946  fourierdlem94  37947  fourierdlem97  37950  fourierdlem102  37955  fourierdlem103  37956  fourierdlem104  37957  fourierdlem111  37964  fourierdlem113  37966  fourierdlem114  37967  iccpartiltu  38549  iccelpart  38560  iccpartiun  38561  icceuelpartlem  38562  icceuelpart  38563  iccpartdisj  38564  iccpartnel  38565  pfxsuffeqwrdeq  38760
  Copyright terms: Public domain W3C validator