MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Unicode version

Theorem elfzofz 11819
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11808 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 elfzouz2 11818 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 elfzuzb 11685 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 662 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  fzossfz  11822  elfzom1elp1fzo  11864  uzindi  12073  2swrdeqwrdeq  12669  telfsumo  13698  telfsumo2  13699  fsumparts  13702  prodfn0  13785  cshwshashlem2  14665  efgs1b  16953  efgredlem  16964  cpmadugsumlemF  19544  dvfsumle  22588  dvfsumabs  22590  dvntaylp  22932  taylthlem1  22934  taylthlem2  22935  pntpbnd1  23969  pntlemj  23986  pntlemi  23987  pntlemf  23988  wlkdvspthlem  24811  clwwisshclww  25009  hashgcdlem  31398  elfzfzo  31698  dvnmptdivc  31974  fourierdlem1  32129  fourierdlem12  32140  fourierdlem14  32142  fourierdlem15  32143  fourierdlem20  32148  fourierdlem25  32153  fourierdlem27  32155  fourierdlem41  32169  fourierdlem46  32174  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem50  32178  fourierdlem54  32182  fourierdlem63  32191  fourierdlem64  32192  fourierdlem65  32193  fourierdlem69  32197  fourierdlem70  32198  fourierdlem71  32199  fourierdlem72  32200  fourierdlem73  32201  fourierdlem74  32202  fourierdlem75  32203  fourierdlem76  32204  fourierdlem79  32207  fourierdlem80  32208  fourierdlem81  32209  fourierdlem84  32212  fourierdlem85  32213  fourierdlem88  32216  fourierdlem89  32217  fourierdlem90  32218  fourierdlem91  32219  fourierdlem92  32220  fourierdlem93  32221  fourierdlem94  32222  fourierdlem97  32225  fourierdlem102  32230  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem111  32239  fourierdlem113  32241  fourierdlem114  32242  pfxsuffeqwrdeq  32634
  Copyright terms: Public domain W3C validator