MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Unicode version

Theorem elfzofz 11823
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11813 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 elfzouz2 11822 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 elfzuzb 11694 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805
This theorem is referenced by:  fzossfz  11826  elfzom1elp1fzo  11863  uzindi  12071  2swrdeqwrdeq  12658  telfsumo  13596  telfsumo2  13597  fsumparts  13600  fzo0dvdseq  13915  cshwshashlem2  14456  efgs1b  16627  efgredlem  16638  cpmadugsumlemF  19246  dvfsumle  22290  dvfsumabs  22292  dvntaylp  22633  taylthlem1  22635  taylthlem2  22636  pntpbnd1  23637  pntlemj  23654  pntlemi  23655  pntlemf  23656  wlkdvspthlem  24432  clwwisshclww  24630  prodfn0  28955  hashgcdlem  31086  elfzfzo  31358  fourierdlem1  31731  fourierdlem12  31742  fourierdlem14  31744  fourierdlem15  31745  fourierdlem20  31750  fourierdlem25  31755  fourierdlem27  31757  fourierdlem41  31771  fourierdlem46  31776  fourierdlem48  31778  fourierdlem49  31779  fourierdlem50  31780  fourierdlem54  31784  fourierdlem63  31793  fourierdlem64  31794  fourierdlem65  31795  fourierdlem69  31799  fourierdlem71  31801  fourierdlem72  31802  fourierdlem73  31803  fourierdlem74  31804  fourierdlem75  31805  fourierdlem76  31806  fourierdlem79  31809  fourierdlem80  31810  fourierdlem81  31811  fourierdlem84  31814  fourierdlem85  31815  fourierdlem88  31818  fourierdlem89  31819  fourierdlem90  31820  fourierdlem91  31821  fourierdlem92  31822  fourierdlem93  31823  fourierdlem94  31824  fourierdlem97  31827  fourierdlem102  31832  fourierdlem103  31833  fourierdlem104  31834  fourierdlem111  31841  fourierdlem113  31843  fourierdlem114  31844
  Copyright terms: Public domain W3C validator