MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Unicode version

Theorem elfzofz 11822
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 11812 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2 elfzouz2 11821 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
3 elfzuzb 11691 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ( ZZ>=
`  K ) ) )
41, 2, 3sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ( M ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804
This theorem is referenced by:  fzossfz  11825  elfzom1elp1fzo  11862  uzindi  12070  2swrdeqwrdeq  12657  telfsumo  13595  telfsumo2  13596  fsumparts  13599  cshwshashlem2  14458  efgs1b  16628  efgredlem  16639  cpmadugsumlemF  19250  dvfsumle  22295  dvfsumabs  22297  dvntaylp  22638  taylthlem1  22640  taylthlem2  22641  pntpbnd1  23643  pntlemj  23660  pntlemi  23661  pntlemf  23662  wlkdvspthlem  24481  clwwisshclww  24679  prodfn0  29003  hashgcdlem  31133  elfzfzo  31407  fourierdlem1  31779  fourierdlem12  31790  fourierdlem14  31792  fourierdlem15  31793  fourierdlem20  31798  fourierdlem25  31803  fourierdlem27  31805  fourierdlem41  31819  fourierdlem46  31824  fourierdlem48  31826  fourierdlem49  31827  fourierdlem50  31828  fourierdlem54  31832  fourierdlem63  31841  fourierdlem64  31842  fourierdlem65  31843  fourierdlem69  31847  fourierdlem70  31848  fourierdlem71  31849  fourierdlem72  31850  fourierdlem73  31851  fourierdlem74  31852  fourierdlem75  31853  fourierdlem76  31854  fourierdlem79  31857  fourierdlem80  31858  fourierdlem81  31859  fourierdlem84  31862  fourierdlem85  31863  fourierdlem88  31866  fourierdlem89  31867  fourierdlem90  31868  fourierdlem91  31869  fourierdlem92  31870  fourierdlem93  31871  fourierdlem94  31872  fourierdlem97  31875  fourierdlem102  31880  fourierdlem103  31881  fourierdlem104  31882  fourierdlem111  31889  fourierdlem113  31891  fourierdlem114  31892
  Copyright terms: Public domain W3C validator