Theorem icceuelpartlem 39973

Description: Lemma for icceuelpart 39974. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
icceuelpartlem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))
2	1	olcd 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
3	2	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
4		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6		zltp1le 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
7	6	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
9	8	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10		df-ne 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11		necom 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
12	10, 11	sylbb1 226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
15	9, 14	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16		peano2z 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
19	17, 18	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21		ltlen 10017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
23	15, 22	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
24	23	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
25	4, 5, 24	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29	27, 28	iccpartgt 39965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)))
30		fzofzp1 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		elfzofz 12354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
34	33	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)))
35	32, 34	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗))))
36		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐽))
38	37	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
39	36, 38	imbi12d 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
40	35, 39	rspc2v 3293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
41	30, 31, 40	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
42	29, 41	mpan9 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
43	26, 42	syld 46	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
44	43	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
45	44	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))
46	45	orcd 406	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
47	46	ex 449	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
48	3, 47	pm2.61i 175	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
49	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
50	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
51	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
53	49, 50, 52	iccpartxr 39957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
54	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
56	49, 50, 55	iccpartxr 39957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*)
57	53, 56	jca 553	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
59		xrleloe 11853	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
61	48, 60	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))
62	61	exp31 628	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  RePartciccp 39951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-iccp 39952

This theorem is referenced by:  icceuelpart  39974