MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlen 10017
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 10005 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
2 ltne 10013 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
32ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
43adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
51, 4jcad 554 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
6 leloe 10003 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
7 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
8 df-ne 2782 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐴)
9 pm2.24 120 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
109eqcoms 2618 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵))
118, 10syl5bi 231 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
127, 11jaoi 393 . . . 4 ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
136, 12syl6bi 242 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
1413impd 446 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
155, 14impbid 201 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  ltleni  10034  ltlend  10061  nn0lt2  11317  rpneg  11739  fzofzim  12382  elfznelfzob  12440  hashsdom  13031  cnpart  13828  oddprmgt2  15249  chfacfisf  20478  chfacfisfcpmat  20479  ang180lem2  24340  mumullem2  24706  lgsneg  24846  lgsdilem  24849  lgsdirprm  24856  axlowdimlem16  25637  unitdivcld  29275  poimirlem24  32603  itg2addnclem  32631  fzopredsuc  39946  iccpartiltu  39960  icceuelpartlem  39973  difmodm1lt  42111
  Copyright terms: Public domain W3C validator