Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlem 17983
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 17967 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6166 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 17966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1110simp1bi 1069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
124, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1312eldifad 3552 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
14 wrdf 13165 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 17976 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2120simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2421nnred 10912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
2524lem1d 10836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))
26 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅)
274, 11, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
28 wrdfin 13178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ∈ Fin)
29 hashnncl 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3013, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3127, 30mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
32 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
33 fznn0 12301 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((#‘𝐴) − 1))))
3523, 25, 34mpbir2and 959 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
36 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
4135, 40eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
4215, 41ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
433, 42sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
44 lencl 13179 . . . . . . . 8 ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11229 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ)
47 2rp 11713 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
48 ltaddrp 11743 . . . . . 6 (((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) < ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
4946, 47, 48sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) < ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
5037nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
5150lem1d 10836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))
52 fznn 12278 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴))))
5421, 51, 53mpbir2and 959 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)))
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 17974 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
564, 54, 55syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 17967 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)))
59 1eluzge0 11608 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ (ℤ‘0)
60 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴)))
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴))
6261, 54sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴)))
63 swrd0val 13273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
6413, 62, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))
6564fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
66 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
6713, 62, 66syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴 substr ⟨0, ((#‘𝐴) − 1)⟩)) = ((#‘𝐴) − 1))
6865, 67eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((#‘𝐴) − 1))
6968oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1))
7069fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
71 fzo0end 12426 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
72 fvres 6117 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7321, 71, 723syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7458, 70, 733eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))
7574fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) = (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
761, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 17968 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
774, 21, 76syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))
781, 5, 6, 7efgtlen 17962 . . . . . 6 (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7942, 77, 78syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑆𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
8049, 75, 793brtr4d 4615 . . . 4 (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)))
811, 5, 6, 7efgtf 17958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8242, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8382simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
84 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
85 ovelrn 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8683, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8777, 86mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
8820simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
891, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 17968 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
9017, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
911, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 17966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
9291simp1bi 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9317, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9493eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
95 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
97 fzo0end 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
98 elfzofz 12354 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐵) − 1)))
9988, 97, 983syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((#‘𝐵) − 1)))
100 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
10194, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
102101nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
103 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
10599, 104eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐵)))
10696, 105ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
1071, 5, 6, 7efgtf 17958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
109108simprd 478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
110 ffn 5958 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
111 ovelrn 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
112109, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11390, 112mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
114 reeanv 3086 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
115 reeanv 3086 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11616ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
1174ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
11817ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
11918ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12019ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
121 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐴) − 1) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
122 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − 1) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
123 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
124123simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))))
125123simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))
126 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)))
127126simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
128126simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
129 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
130129simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
131129simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
132 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
1331, 5, 6, 7, 8, 9, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 130, 131, 132efgredlemb 17982 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
134 iman 439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
135133, 134mpbir 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
136135expr 641 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
137136rexlimdvva 3020 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) → (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
138115, 137syl5bir 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) → ((∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
139138rexlimdvva 3020 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
140114, 139syl5bir 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))
14187, 113, 140mp2and 711 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
142 fvres 6117 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
14388, 97, 1423syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
144141, 73, 1433eqtr4d 2654 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
145 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵)))
14659, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵))
147101nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
148147lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))
149 fznn 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
150102, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵))))
15188, 148, 150mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)))
152146, 151sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵)))
153 swrd0val 13273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
15494, 152, 153syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))
155154fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
156 swrd0len 13274 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
15794, 152, 156syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐵 substr ⟨0, ((#‘𝐵) − 1)⟩)) = ((#‘𝐵) − 1))
158155, 157eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((#‘𝐵) − 1))
159158oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1))
160159fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))
161144, 70, 1603eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
1621, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 17974 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
16317, 151, 162syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1641, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 17967 . . . . . 6 ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
165163, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)))
166161, 58, 1653eqtr4d 2654 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
167 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))
168167fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (#‘(𝑆𝑎)) = (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))))
169168breq1d 4593 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) ↔ (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴))))
170167eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
171 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0))
172171eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
173170, 172imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
174169, 173imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
175 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))
176175eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))))
177 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
178177eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0)))
179176, 178imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
180179imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0)))))
181174, 180rspc2va 3294 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
18256, 163, 16, 181syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))))
18380, 166, 182mp2d 47 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0))
184 lbfzo0 12375 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) ↔ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
18521, 184sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
186 fvres 6117 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
187185, 186syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
188 lbfzo0 12375 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) ↔ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
18988, 188sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
190 fvres 6117 . . . 4 (0 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
191189, 190syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
192183, 187, 1913eqtr3d 2652 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
193192, 19pm2.65i 184 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~FG cefg 17942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444 This theorem is referenced by:  efgred  17984
 Copyright terms: Public domain W3C validator