Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | efgval.w |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 ×
2𝑜)) |
2 | | fviss 6166 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ( I
‘Word (𝐼 ×
2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 ×
2𝑜) |
3 | 1, 2 | eqsstri 3598 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑊 ⊆ Word (𝐼 ×
2𝑜) |
4 | | efgredlem.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝑆) |
5 | | efgval.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ∼ = (
~FG ‘𝐼) |
6 | | efgval2.m |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦
〈𝑦,
(1𝑜 ∖ 𝑧)〉) |
7 | | efgval2.t |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦
(𝑣 splice 〈𝑛, 𝑛, 〈“𝑤(𝑀‘𝑤)”〉〉))) |
8 | | efgred.d |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪
𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) |
9 | | efgred.s |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1))) |
10 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsdm 17966 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1))))) |
11 | 10 | simp1bi 1069 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑆 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})) |
12 | 4, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})) |
13 | 12 | eldifad 3552 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word 𝑊) |
14 | | wrdf 13165 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊) |
15 | 13, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊) |
16 | | efgredlem.1 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆‘𝑎)) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) |
17 | | efgredlem.3 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom 𝑆) |
18 | | efgredlem.4 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵)) |
19 | | efgredlem.5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) |
20 | 1, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19 | efgredlema 17976 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ
∧ ((#‘𝐵) −
1) ∈ ℕ)) |
21 | 20 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈
ℕ) |
22 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((#‘𝐴)
− 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
ℕ0) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
ℕ0) |
24 | 21 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈
ℝ) |
25 | 24 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤
((#‘𝐴) −
1)) |
26 | | eldifsni 4261 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅) |
27 | 4, 11, 26 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅) |
28 | | wrdfin 13178 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → 𝐴 ∈ Fin) |
29 | | hashnncl 13018 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ Fin →
((#‘𝐴) ∈ ℕ
↔ 𝐴 ≠
∅)) |
30 | 13, 28, 29 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅)) |
31 | 27, 30 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ) |
32 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ → ((#‘𝐴)
− 1) ∈ ℕ0) |
33 | | fznn0 12301 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((#‘𝐴)
− 1) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
(0...((#‘𝐴) −
1)) ↔ ((((#‘𝐴)
− 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤
((#‘𝐴) −
1)))) |
34 | 31, 32, 33 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
(0...((#‘𝐴) −
1)) ↔ ((((#‘𝐴)
− 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝐴) − 1) − 1) ≤
((#‘𝐴) −
1)))) |
35 | 23, 25, 34 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
(0...((#‘𝐴) −
1))) |
36 | | lencl 13179 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈
ℕ0) |
37 | 13, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈
ℕ0) |
38 | 37 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ) |
39 | | fzoval 12340 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1))) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1))) |
41 | 35, 40 | eleqtrrd 2691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
(0..^(#‘𝐴))) |
42 | 15, 41 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊) |
43 | 3, 42 | sseldi 3566 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 ×
2𝑜)) |
44 | | lencl 13179 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈
Word (𝐼 ×
2𝑜) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈
ℕ0) |
45 | 43, 44 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈
ℕ0) |
46 | 45 | nn0red 11229 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈
ℝ) |
47 | | 2rp 11713 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
48 | | ltaddrp 11743 |
. . . . . 6
⊢
(((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ
∧ 2 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) <
((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) +
2)) |
49 | 46, 47, 48 | sylancl 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) <
((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) +
2)) |
50 | 37 | nn0red 11229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℝ) |
51 | 50 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴)) |
52 | | fznn 12278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℤ → (((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴)) ↔ (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ
∧ ((#‘𝐴) −
1) ≤ (#‘𝐴)))) |
53 | 38, 52 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈
(1...(#‘𝐴)) ↔
(((#‘𝐴) − 1)
∈ ℕ ∧ ((#‘𝐴) − 1) ≤ (#‘𝐴)))) |
54 | 21, 51, 53 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈
(1...(#‘𝐴))) |
55 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsres 17974 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆) |
56 | 4, 54, 55 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆) |
57 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsval 17967 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) −
1))) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) −
1))) |
59 | | 1eluzge0 11608 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
(ℤ≥‘0) |
60 | | fzss1 12251 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (1 ∈
(ℤ≥‘0) → (1...(#‘𝐴)) ⊆ (0...(#‘𝐴))) |
61 | 59, 60 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(1...(#‘𝐴))
⊆ (0...(#‘𝐴)) |
62 | 61, 54 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈
(0...(#‘𝐴))) |
63 | | swrd0val 13273 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (𝐴 substr 〈0, ((#‘𝐴) − 1)〉) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) |
64 | 13, 62, 63 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐴 substr 〈0, ((#‘𝐴) − 1)〉) = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) |
65 | 64 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴 substr 〈0, ((#‘𝐴) − 1)〉)) =
(#‘(𝐴 ↾
(0..^((#‘𝐴) −
1))))) |
66 | | swrd0len 13274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr 〈0, ((#‘𝐴) − 1)〉)) =
((#‘𝐴) −
1)) |
67 | 13, 62, 66 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴 substr 〈0, ((#‘𝐴) − 1)〉)) =
((#‘𝐴) −
1)) |
68 | 65, 67 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) =
((#‘𝐴) −
1)) |
69 | 68 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1) =
(((#‘𝐴) − 1)
− 1)) |
70 | 69 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) =
((𝐴 ↾
(0..^((#‘𝐴) −
1)))‘(((#‘𝐴)
− 1) − 1))) |
71 | | fzo0end 12426 |
. . . . . . . 8
⊢
(((#‘𝐴)
− 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈
(0..^((#‘𝐴) −
1))) |
72 | | fvres 6117 |
. . . . . . . 8
⊢
((((#‘𝐴)
− 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) =
(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))) |
73 | 21, 71, 72 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) =
(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))) |
74 | 58, 70, 73 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) |
75 | 74 | fveq2d 6107 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) = (#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1)))) |
76 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsdmi 17968 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) |
77 | 4, 21, 76 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) |
78 | 1, 5, 6, 7 | efgtlen 17962 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈
𝑊 ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) →
(#‘(𝑆‘𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) +
2)) |
79 | 42, 77, 78 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆‘𝐴)) = ((#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) +
2)) |
80 | 49, 75, 79 | 3brtr4d 4615 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴))) |
81 | 1, 5, 6, 7 | efgtf 17958 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) ∈
𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))),
𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦
((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice
〈𝑎, 𝑎, 〈“𝑏(𝑀‘𝑏)”〉〉)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊)) |
82 | 42, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))),
𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦
((𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) splice
〈𝑎, 𝑎, 〈“𝑏(𝑀‘𝑏)”〉〉)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊)) |
83 | 82 | simprd 478 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊) |
84 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn
((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))) |
85 | | ovelrn 6708 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) Fn
((0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))
→ ((𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔
∃𝑖 ∈
(0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))) |
86 | 83, 84, 85 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))) ↔
∃𝑖 ∈
(0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))) |
87 | 77, 86 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)) |
88 | 20 | simprd 478 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈
ℕ) |
89 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsdmi 17968 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) |
90 | 17, 88, 89 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) |
91 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsdm 17966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1))))) |
92 | 91 | simp1bi 1069 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑆 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})) |
93 | 17, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅})) |
94 | 93 | eldifad 3552 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Word 𝑊) |
95 | | wrdf 13165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → 𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊) |
96 | 94, 95 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊) |
97 | | fzo0end 12426 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((#‘𝐵)
− 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈
(0..^((#‘𝐵) −
1))) |
98 | | elfzofz 12354 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((#‘𝐵)
− 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈
(0...((#‘𝐵) −
1))) |
99 | 88, 97, 98 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈
(0...((#‘𝐵) −
1))) |
100 | | lencl 13179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈
ℕ0) |
101 | 94, 100 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈
ℕ0) |
102 | 101 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ) |
103 | | fzoval 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((#‘𝐵) ∈
ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1))) |
104 | 102, 103 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1))) |
105 | 99, 104 | eleqtrrd 2691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈
(0..^(#‘𝐵))) |
106 | 96, 105 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊) |
107 | 1, 5, 6, 7 | efgtf 17958 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) ∈
𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))),
𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦
((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice
〈𝑎, 𝑎, 〈“𝑏(𝑀‘𝑏)”〉〉)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊)) |
108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))),
𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦
((𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) splice
〈𝑎, 𝑎, 〈“𝑏(𝑀‘𝑏)”〉〉)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊)) |
109 | 108 | simprd 478 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊) |
110 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))):((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn
((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 ×
2𝑜))) |
111 | | ovelrn 6708 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) Fn
((0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))
→ ((𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔
∃𝑗 ∈
(0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))) |
112 | 109, 110,
111 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔
∃𝑗 ∈
(0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))) |
113 | 90, 112 | mpbid 221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) |
114 | | reeanv 3086 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑖 ∈
(0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))))(∃𝑟 ∈
(𝐼 ×
2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))) |
115 | | reeanv 3086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑟 ∈
(𝐼 ×
2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))) |
116 | 16 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆‘𝑎)) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) |
117 | 4 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝐴 ∈ dom 𝑆) |
118 | 17 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝐵 ∈ dom 𝑆) |
119 | 18 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
(𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐵)) |
120 | 19 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) |
121 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((#‘𝐴)
− 1) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1) |
122 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((#‘𝐵)
− 1) − 1) = (((#‘𝐵) − 1) − 1) |
123 | | simpllr 795 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
(𝑖 ∈
(0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))))) |
124 | 123 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝑖 ∈
(0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))) |
125 | 123 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝑗 ∈
(0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))) |
126 | | simplrl 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
(𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 ×
2𝑜))) |
127 | 126 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝑟 ∈ (𝐼 ×
2𝑜)) |
128 | 126 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
𝑠 ∈ (𝐼 ×
2𝑜)) |
129 | | simplrr 797 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))) |
130 | 129 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)) |
131 | 129 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) |
132 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) →
¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
133 | 1, 5, 6, 7, 8, 9, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 127, 128, 130, 131, 132 | efgredlemb 17982 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ¬
(((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧
𝑗 ∈
(0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧
((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
134 | | iman 439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))) ↔
¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧
𝑗 ∈
(0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧
((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
135 | 133, 134 | mpbir 220 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
∧ ((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
136 | 135 | expr 641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)
∧ 𝑠 ∈ (𝐼 ×
2𝑜))) → (((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
137 | 136 | rexlimdvva 3020 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
→ (∃𝑟 ∈
(𝐼 ×
2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
138 | 115, 137 | syl5bir 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))))
→ ((∃𝑟 ∈
(𝐼 ×
2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
139 | 138 | rexlimdvva 3020 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))))(∃𝑟 ∈
(𝐼 ×
2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
140 | 114, 139 | syl5bir 232 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(#‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) −
1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 ×
2𝑜)(𝑆‘𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(#‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆‘𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1)))) |
141 | 87, 113, 140 | mp2and 711 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
142 | | fvres 6117 |
. . . . . . . 8
⊢
((((#‘𝐵)
− 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) =
(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
143 | 88, 97, 142 | 3syl 18 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘(((#‘𝐵) − 1) − 1)) =
(𝐵‘(((#‘𝐵) − 1) −
1))) |
144 | 141, 73, 143 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘(((#‘𝐴) − 1) − 1)) =
((𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1)))‘(((#‘𝐵)
− 1) − 1))) |
145 | | fzss1 12251 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1 ∈
(ℤ≥‘0) → (1...(#‘𝐵)) ⊆ (0...(#‘𝐵))) |
146 | 59, 145 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...(#‘𝐵))
⊆ (0...(#‘𝐵)) |
147 | 101 | nn0red 11229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℝ) |
148 | 147 | lem1d 10836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵)) |
149 | | fznn 12278 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((#‘𝐵) ∈
ℤ → (((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ
∧ ((#‘𝐵) −
1) ≤ (#‘𝐵)))) |
150 | 102, 149 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) ∈
(1...(#‘𝐵)) ↔
(((#‘𝐵) − 1)
∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ≤ (#‘𝐵)))) |
151 | 88, 148, 150 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈
(1...(#‘𝐵))) |
152 | 146, 151 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈
(0...(#‘𝐵))) |
153 | | swrd0val 13273 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (𝐵 substr 〈0, ((#‘𝐵) − 1)〉) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) |
154 | 94, 152, 153 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 substr 〈0, ((#‘𝐵) − 1)〉) = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) |
155 | 154 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐵 substr 〈0, ((#‘𝐵) − 1)〉)) =
(#‘(𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1))))) |
156 | | swrd0len 13274 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘(𝐵 substr 〈0, ((#‘𝐵) − 1)〉)) =
((#‘𝐵) −
1)) |
157 | 94, 152, 156 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐵 substr 〈0, ((#‘𝐵) − 1)〉)) =
((#‘𝐵) −
1)) |
158 | 155, 157 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) =
((#‘𝐵) −
1)) |
159 | 158 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1) =
(((#‘𝐵) − 1)
− 1)) |
160 | 159 | fveq2d 6107 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) − 1)) =
((𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1)))‘(((#‘𝐵)
− 1) − 1))) |
161 | 144, 70, 160 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘((#‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) − 1)) =
((𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1)))‘((#‘(𝐵
↾ (0..^((#‘𝐵)
− 1)))) − 1))) |
162 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsres 17974 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ (1...(#‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) |
163 | 17, 151, 162 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) |
164 | 1, 5, 6, 7, 8, 9 | efgsval 17967 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) −
1))) |
165 | 163, 164 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘((#‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) −
1))) |
166 | 161, 58, 165 | 3eqtr4d 2654 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) |
167 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑆‘𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) |
168 | 167 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (#‘(𝑆‘𝑎)) = (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))))) |
169 | 168 | breq1d 4593 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((#‘(𝑆‘𝑎)) < (#‘(𝑆‘𝐴)) ↔ (#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴)))) |
170 | 167 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏))) |
171 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0)) |
172 | 171 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) |
173 | 170, 172 | imbi12d 333 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))) |
174 | 169, 173 | imbi12d 333 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) → (((#‘(𝑆‘𝑎)) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))) |
175 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑆‘𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))))) |
176 | 175 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))))) |
177 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0)) |
178 | 177 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) =
((𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0))) |
179 | 176, 178 | imbi12d 333 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0)))) |
180 | 179 | imbi2d 329 |
. . . . . 6
⊢ (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) → (((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔
((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) <
(#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0))))) |
181 | 174, 180 | rspc2va 3294 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆∀𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆‘𝑎)) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘𝑎) = (𝑆‘𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0)))) |
182 | 56, 163, 16, 181 | syl21anc 1317 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((#‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1))))) < (#‘(𝑆‘𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0)))) |
183 | 80, 166, 182 | mp2d 47 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0)) |
184 | | lbfzo0 12375 |
. . . . 5
⊢ (0 ∈
(0..^((#‘𝐴) −
1)) ↔ ((#‘𝐴)
− 1) ∈ ℕ) |
185 | 21, 184 | sylibr 223 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(0..^((#‘𝐴) −
1))) |
186 | | fvres 6117 |
. . . 4
⊢ (0 ∈
(0..^((#‘𝐴) −
1)) → ((𝐴 ↾
(0..^((#‘𝐴) −
1)))‘0) = (𝐴‘0)) |
187 | 185, 186 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((#‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0)) |
188 | | lbfzo0 12375 |
. . . . 5
⊢ (0 ∈
(0..^((#‘𝐵) −
1)) ↔ ((#‘𝐵)
− 1) ∈ ℕ) |
189 | 88, 188 | sylibr 223 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(0..^((#‘𝐵) −
1))) |
190 | | fvres 6117 |
. . . 4
⊢ (0 ∈
(0..^((#‘𝐵) −
1)) → ((𝐵 ↾
(0..^((#‘𝐵) −
1)))‘0) = (𝐵‘0)) |
191 | 189, 190 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((#‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0)) |
192 | 183, 187,
191 | 3eqtr3d 2652 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) |
193 | 192, 19 | pm2.65i 184 |
1
⊢ ¬
𝜑 |