Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashlem2 15641
 Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . . . 8 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
21eqcomd 2616 . . . . . . 7 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
32ad2antrr 758 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)))
4 cshwshash.0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℙ))
54simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑉)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 elfzofz 12354 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
1093ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
1110adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)))
12 elfzofz 12354 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
13 fznn0sub2 12315 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15143ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1615adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)))
17 elfzo0 12376 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)))
18 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
19 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
21 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
22 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
23 resubcl 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2421, 22, 23syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
2620, 25readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ)
2721adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
2926, 28jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
3029ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3118, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
33323adant3 1074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3417, 33sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ)))
3534imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
36353adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
37 fzonmapblen 12381 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊))
38 ltle 10005 . . . . . . . . 9 (((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)))
3936, 37, 38sylc 63 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))
41 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
42 elfzelz 12213 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
43423ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4443adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 elfzelz 12213 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
46453ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
48 2cshw 13410 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
4941, 44, 47, 48syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ≤ (#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
508, 11, 16, 40, 49syl13anc 1320 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐾) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
51123ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)))
52 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
53 2cshwid 13411 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
5452, 53sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
557, 51, 54syl2an 493 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ((𝑊 cyclShift 𝐿) cyclShift ((#‘𝑊) − 𝐿)) = 𝑊)
563, 50, 553eqtr3d 2652 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) = 𝑊)
57 simplrl 796 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → 𝜑)
58 simplrr 797 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
59 3simpa 1051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
6017, 59sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
61 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
62 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
63 zsubcl 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6461, 62, 63syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ)
6564anim2i 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
6665ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ))
67 zaddcl 11294 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℤ) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
6960, 18, 68syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
70693adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ)
71 elfzo0 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (#‘𝑊)))
72 elnn0z 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
7319ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 𝐾 ∈ ℝ)
74243adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → ((#‘𝑊) − 𝐿) ∈ ℝ)
76 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 ≤ 𝐾)
77 posdif 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (𝐿 < (#‘𝑊) ↔ 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿)))
7822, 21, 77syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐿 < (#‘𝑊) ↔ 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿)))
7978biimp3a 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 < ((#‘𝑊) − 𝐿))
8173, 75, 76, 80addgegt0d 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
8281ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8372, 82sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
84833ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (#‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8571, 84sylbi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8685com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐿 < (#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8717, 86sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
8887imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
89883adant3 1074 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)))
90 elnnz 11264 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))))
9170, 89, 90sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ)
9217simp2bi 1070 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
93923ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
94 elfzo1 12385 . . . . . . . 8 ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ ℕ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) < (#‘𝑊)))
9591, 93, 37, 94syl3anbrc 1239 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)))
9695adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊)))
974cshwshashlem1 15640 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿)) ∈ (1..^(#‘𝑊))) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9857, 58, 96, 97syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift (𝐾 + ((#‘𝑊) − 𝐿))) ≠ 𝑊)
9956, 98pm2.21ddne 2866 . . . 4 ((((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) ∧ (𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
10099ex 449 . . 3 (((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) ∧ (𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
101100ex 449 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) = (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
102 2a1 28 . 2 ((𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
103101, 102pm2.61ine 2865 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309 This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  15642
 Copyright terms: Public domain W3C validator