MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzo0 12376
Description: Membership in a half-open integer range based at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzo0 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Proof of Theorem elfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12343 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
2 elnn0uz 11601 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylibr 223 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
4 elfzolt3b 12351 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 0 ∈ (0..^𝐵))
5 lbfzo0 12375 . . . 4 (0 ∈ (0..^𝐵) ↔ 𝐵 ∈ ℕ)
64, 5sylib 207 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
7 elfzolt2 12348 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
83, 6, 73jca 1235 . 2 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
9 simp1 1054 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ0)
109, 2sylib 207 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (ℤ‘0))
11 nnz 11276 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
12113ad2ant2 1076 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 simp3 1056 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
14 elfzo2 12342 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵))
1510, 12, 13, 14syl3anbrc 1239 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (0..^𝐵))
168, 15impbii 198 1 (𝐴 ∈ (0..^𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 195  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   < clt 9953  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  elfzo0z  12377  nn0p1elfzo  12378  elfzo0le  12379  fzonmapblen  12381  fzofzim  12382  fzo1fzo0n0  12386  ubmelfzo  12400  elfzodifsumelfzo  12401  elfzonlteqm1  12410  fzonn0p1  12411  fzonn0p1p1  12413  elfzom1p1elfzo  12414  ubmelm1fzo  12430  elfznelfzo  12439  subfzo0  12452  zmodidfzoimp  12562  modfzo0difsn  12604  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  ccatalpha  13228  ccat2s1fvw  13267  swrdswrd  13312  wrdeqs1cat  13326  swrdccatin1  13334  swrdccatin12lem3  13341  repswswrd  13382  cshwidxmod  13400  cshwidxmodr  13401  cshwidx0  13403  cshwidxm1  13404  cshf1  13407  2cshw  13410  cshweqrep  13418  cshw1  13419  cshco  13433  swrds2  13533  2swrd2eqwrdeq  13544  wwlktovf  13547  addmodlteqALT  14885  smueqlem  15050  hashgcdlem  15331  prmgaplem3  15595  cshwshashlem2  15641  psgnunilem5  17737  psgnunilem2  17738  psgnunilem3  17739  psgnunilem4  17740  usgrcyclnl2  26169  nvnencycllem  26171  4cycl4dv  26195  wwlknredwwlkn  26254  clwlkisclwwlklem2fv2  26311  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwlkisclwwlklem2a  26313  clwwlkel  26321  wwlkext2clwwlk  26331  clwwisshclwwlem1  26333  usg2cwwkdifex  26349  rusgra0edg  26482  extwwlkfablem2  26605  numclwwlkovf2ex  26613  fiblem  29787  fib1  29789  fibp1  29790  signstfveq0  29980  poimirlem17  32596  poimirlem20  32599  iccpartigtl  39961  bgoldbtbndlem4  40224  lswn0  40242  pfx2  40275  subsubelfzo0  40359  elfzo0l  40365  usgr2pthlem  40969  uspgrn2crct  41011  crctcsh1wlkn0lem4  41016  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0  41024  wwlksnredwwlkn  41101  clwlkclwwlklem2fv2  41205  clwlkclwwlklem2a4  41206  clwlkclwwlklem2a  41207  clwwlksel  41221  wwlksext2clwwlk  41231  clwwisshclwwslemlem  41233  umgr2cwwkdifex  41249  upgr3v3e3cycl  41347  upgr4cycl4dv4e  41352  eucrctshift  41411  eucrct2eupth  41413  av-numclwwlkovf2ex  41517
  Copyright terms: Public domain W3C validator