Theorem zsubcl 11296

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11259	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 11259	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 10208	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 11289	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 11294	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 490	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2689	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255

This theorem is referenced by:  peano2zm  11297  zrevaddcl  11299  znnsub  11300  znn0sub  11301  nzadd  11302  zneo  11336  zsubcld  11363  eluzsubi  11591  fzen  12229  uzsubsubfz  12234  fzrev  12273  fzrev2  12274  fzrevral2  12295  fzshftral  12297  fz0fzdiffz0  12317  difelfzle  12321  difelfznle  12322  fzo0n  12359  fzonfzoufzol  12437  elfzomelpfzo  12438  zmodcl  12552  addmodlteq  12607  fzen2  12630  facndiv  12937  bccmpl  12958  bcval5  12967  bcpasc  12970  hashfz  13074  ccatsymb  13219  swrdspsleq  13301  swrdccatin12lem1  13335  swrdccatin12lem2a  13336  swrdccatin12lem2b  13337  swrdccatin12lem2  13340  swrdccat  13344  repswswrd  13382  cshwsublen  13393  cshwidxmodr  13401  2cshwid  13411  3cshw  13415  cshweqdif2  13416  2cshwcshw  13422  cshwcshid  13424  seqshft  13673  isercoll2  14247  zfallfaccl  14591  binomrisefac  14612  bpolydiflem  14624  moddvds  14829  modmulconst  14851  dvds2sub  14854  dvdssub2  14861  dvdssubr  14865  fzocongeq  14884  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  odd2np1  14903  omoe  14926  omeo  14928  divalglem0  14954  divalglem4  14957  divalglem9  14962  divalgb  14965  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  ndvdsadd  14972  nn0seqcvgd  15121  congr  15216  cncongr1  15219  cncongr2  15220  eulerthlem2  15325  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  pythagtriplem4  15362  pythagtriplem8  15366  difsqpwdvds  15429  prmgaplem7  15599  mod2xnegi  15613  cshwshashlem2  15641  mndodcongi  17785  odcong  17791  odf1  17802  odf1o1  17810  efgredleme  17979  srgbinomlem4  18366  plyeq0lem  23770  aaliou3lem1  23901  aaliou3lem2  23902  efif1olem2  24093  wilthlem2  24595  basellem2  24608  dchrptlem1  24789  bposlem6  24814  gausslemma2dlem6  24897  lgsquadlem1  24905  clwlkisclwwlklem2fv2  26311  ballotlemfelz  29879  fwddifnp1  31442  knoppndvlem2  31674  poimirlem28  32607  irrapxlem1  36404  jm2.24nn  36544  congtr  36550  congadd  36551  congmul  36552  congabseq  36559  acongeq  36568  jm2.26a  36585  jm2.15nn0  36588  jm2.27c  36592  jm3.1  36605  pfxccatin12lem1  40286  pfxccatin12lem2  40287  2elfz2melfz  40355  elfzlble  40357  elfzelfzlble  40358  subsubelfzo0  40359  crctcsh1wlkn0lem7  41019  crctcsh1wlkn0  41024  clwlkclwwlklem2fv2  41205  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  zlmodzxzsub  41931