Theorem cshwsublen 13393

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding subtraction of the word's length. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cshwsublen	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwsublen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → (𝑁 − (#‘𝑊)) = (𝑁 − 0))
2		zcn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	subid1d 10260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
4	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
5	1, 4	sylan9eq 2664	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 − (#‘𝑊)) = 𝑁)
6	5	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 = (𝑁 − (#‘𝑊)))
7	6	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (((#‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))
8	7	ex 449	. 2 ⊢ ((#‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊)))))
9		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lencl 13179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
13		elnnne0 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0))
14		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
15	13, 14	sylbir 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ≠ 0) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
16	15	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝑊) ≠ 0 → (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
19	18	impcom 445	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
20	11, 19	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+))
21		modeqmodmin 12602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (#‘𝑊)) = ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊)))
23	22	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
24		cshwmodn 13392	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (#‘𝑊))))
26		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27	12	nn0zd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
28		zsubcl 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
29	27, 28	sylan2 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
30	29	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ)
31	26, 30	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ))
32	31	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ))
33		cshwmodn 13392	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − (#‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))) = (𝑊 cyclShift ((𝑁 − (#‘𝑊)) mod (#‘𝑊))))
35	23, 25, 34	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (((#‘𝑊) ≠ 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))
36	35	ex 449	. 2 ⊢ ((#‘𝑊) ≠ 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊)))))
37	8, 36	pm2.61ine 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 − (#‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  13422  cshwcsh2id  13425