MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Unicode version

Theorem zsubcl 10686
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10650 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10650 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9656 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10679 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10684 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2517 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6090   CCcc 9279    + caddc 9284    - cmin 9594   -ucneg 9595   ZZcz 10645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646
This theorem is referenced by:  peano2zm  10687  zrevaddcl  10689  znnsub  10690  znn0sub  10691  zneo  10723  uzindOLD  10735  zsubcld  10751  eluzsubi  10887  fzen  11466  uzsubsubfz  11470  fz0fzdiffz0  11488  fzrev  11518  fzrev2  11519  fzm1  11539  fzrevral2  11544  fzshftral  11546  fzonfzoufzol  11627  elfzomelpfzo  11628  zmodcl  11726  fzen2  11790  facndiv  12063  bccmpl  12084  bcval5  12093  bcpasc  12096  hashfz  12187  ccatsymb  12280  swrdlend  12324  swrd0  12326  swrdspsleq  12341  swrdccatin12lem1  12374  swrdccatin12lem2a  12375  swrdccatin12lem2b  12376  swrdccatin12lem2  12379  swrdccat  12383  repswswrd  12421  cshwsublen  12432  2cshwid  12447  3cshw  12451  cshweqdif2  12452  seqshft  12573  isercoll2  13145  moddvds  13541  dvds2sub  13564  dvdssub2  13569  dvdssubr  13573  fzocongeq  13586  odd2np1  13591  3dvds  13595  divalglem0  13596  divalglem4  13599  divalglem9  13604  divalgb  13607  divalgmod  13609  ndvdsadd  13611  nn0seqcvgd  13744  eulerthlem2  13856  prmdiv  13859  prmdiveq  13860  omoe  13878  omeo  13880  pythagtriplem4  13885  pythagtriplem8  13889  mod2xnegi  14099  cshwshashlem2  14122  mndodcongi  16045  odcong  16051  odf1  16062  odf1o1  16070  efgredleme  16239  srgbinomlem4  16640  plyeq0lem  21677  aaliou3lem1  21807  aaliou3lem2  21808  efif1olem2  21998  wilthlem2  22406  basellem2  22418  dchrptlem1  22602  bposlem6  22627  lgsquadlem1  22692  ballotlemfelz  26872  zfallfaccl  27523  binomrisefac  27544  bpolydiflem  28196  irrapxlem1  29161  jm2.24nn  29300  congtr  29306  congadd  29307  congmul  29308  congabseq  29315  acongeq  29324  jm2.26a  29347  jm2.15nn0  29350  jm2.27c  29354  jm3.1  29367  lesubnn0  30179  2elfz2melfz  30200  elfzlble  30206  elfzelfzlble  30207  subsubelfzo0  30208  clwlkisclwwlklem2fv2  30443  erclwwlksym0  30476  difelfzle  30485  difelfznle  30486  cshwlemma1  30487  altgsumbc  30747  altgsumbcALT  30748  zlmodzxzsub  30755
  Copyright terms: Public domain W3C validator