MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Unicode version

Theorem zsubcl 10913
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10876 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10876 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9872 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10906 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10911 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2532 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493    + caddc 9498    - cmin 9810   -ucneg 9811   ZZcz 10871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872
This theorem is referenced by:  peano2zm  10914  zrevaddcl  10916  znnsub  10917  znn0sub  10918  zneo  10952  uzindOLD  10964  zsubcld  10981  eluzsubi  11119  fzen  11714  uzsubsubfz  11718  fzrev  11753  fzrev2  11754  fzm1  11769  fzrevral2  11775  fzshftral  11777  fz0fzdiffz0  11794  difelfzle  11799  difelfznle  11800  fzonfzoufzol  11895  elfzomelpfzo  11896  zmodcl  11997  fzen2  12061  facndiv  12348  bccmpl  12369  bcval5  12378  bcpasc  12381  hashfz  12467  ccatsymb  12582  swrdlend  12638  swrd0  12640  swrdspsleq  12655  swrdccatin12lem1  12691  swrdccatin12lem2a  12692  swrdccatin12lem2b  12693  swrdccatin12lem2  12696  swrdccat  12700  repswswrd  12738  cshwsublen  12749  2cshwid  12764  3cshw  12768  cshweqdif2  12769  2cshwcshw  12775  cshwcshid  12777  seqshft  12900  isercoll2  13473  moddvds  13975  dvds2sub  13998  dvdssub2  14005  dvdssubr  14009  fzocongeq  14022  odd2np1  14028  3dvds  14032  divalglem0  14033  divalglem4  14036  divalglem9  14041  divalgb  14044  divalgmod  14046  ndvdsadd  14048  nn0seqcvgd  14181  eulerthlem2  14294  prmdiv  14297  prmdiveq  14298  omoe  14318  omeo  14320  pythagtriplem4  14325  pythagtriplem8  14329  mod2xnegi  14539  cshwshashlem2  14563  mndodcongi  16546  odcong  16552  odf1  16563  odf1o1  16571  efgredleme  16740  srgbinomlem4  17173  plyeq0lem  22585  aaliou3lem1  22716  aaliou3lem2  22717  efif1olem2  22908  wilthlem2  23321  basellem2  23333  dchrptlem1  23517  bposlem6  23542  lgsquadlem1  23607  clwlkisclwwlklem2fv2  24761  ballotlemfelz  28407  zfallfaccl  29119  binomrisefac  29140  bpolydiflem  29792  irrapxlem1  30734  jm2.24nn  30873  congtr  30879  congadd  30880  congmul  30881  congabseq  30888  acongeq  30897  jm2.26a  30918  jm2.15nn0  30921  jm2.27c  30925  jm3.1  30938  lesubnn0  32280  2elfz2melfz  32288  elfzlble  32290  elfzelfzlble  32291  subsubelfzo0  32292  altgsumbc  32809  altgsumbcALT  32810  zlmodzxzsub  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator