MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Unicode version

Theorem zsubcl 10947
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10910 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2 zcn 10910 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3 negsub 9903 . . 3  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
41, 2, 3syl2an 475 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  =  ( M  -  N ) )
5 znegcl 10940 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
6 zaddcl 10945 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
75, 6sylan2 472 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  -u N )  e.  ZZ )
84, 7eqeltrrd 2491 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  -  N
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    - cmin 9841   -ucneg 9842   ZZcz 10905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906
This theorem is referenced by:  peano2zm  10948  zrevaddcl  10950  znnsub  10951  znn0sub  10952  zneo  10986  zsubcld  11013  eluzsubi  11154  fzen  11757  uzsubsubfz  11761  fzrev  11797  fzrev2  11798  fzrevral2  11819  fzshftral  11821  fz0fzdiffz0  11838  difelfzle  11843  difelfznle  11844  fzo0n  11879  fzonfzoufzol  11950  elfzomelpfzo  11951  zmodcl  12054  fzen2  12120  facndiv  12410  bccmpl  12431  bcval5  12440  bcpasc  12443  hashfz  12534  ccatsymb  12654  swrdspsleq  12730  swrdccatin12lem1  12765  swrdccatin12lem2a  12766  swrdccatin12lem2b  12767  swrdccatin12lem2  12770  swrdccat  12774  repswswrd  12812  cshwsublen  12823  2cshwid  12838  3cshw  12842  cshweqdif2  12843  2cshwcshw  12849  cshwcshid  12851  seqshft  13067  isercoll2  13640  zfallfaccl  13966  binomrisefac  13987  bpolydiflem  13999  moddvds  14202  dvds2sub  14225  dvdssub2  14232  dvdssubr  14236  fzocongeq  14249  odd2np1  14255  3dvds  14259  divalglem0  14260  divalglem4  14263  divalglem9  14268  divalgb  14271  divalgmod  14273  ndvdsadd  14275  nn0seqcvgd  14408  eulerthlem2  14521  prmdiv  14524  prmdiveq  14525  omoe  14545  omeo  14547  pythagtriplem4  14552  pythagtriplem8  14556  mod2xnegi  14766  cshwshashlem2  14790  mndodcongi  16891  odcong  16897  odf1  16908  odf1o1  16916  efgredleme  17085  srgbinomlem4  17514  plyeq0lem  22899  aaliou3lem1  23030  aaliou3lem2  23031  efif1olem2  23222  wilthlem2  23724  basellem2  23736  dchrptlem1  23920  bposlem6  23945  lgsquadlem1  24010  clwlkisclwwlklem2fv2  25200  ballotlemfelz  28935  fwddifnp1  30503  irrapxlem1  35119  jm2.24nn  35258  congtr  35264  congadd  35265  congmul  35266  congabseq  35273  acongeq  35282  jm2.26a  35304  jm2.15nn0  35307  jm2.27c  35311  jm3.1  35324  pfxccatin12lem1  37910  pfxccatin12lem2  37911  lesubnn0  37958  2elfz2melfz  37966  elfzlble  37968  elfzelfzlble  37969  subsubelfzo0  37970  altgsumbc  38452  altgsumbcALT  38453  zlmodzxzsub  38460
  Copyright terms: Public domain W3C validator