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Theorem clwlkisclwwlklem2fv2 26311
Description: Lemma 4b for clwlkisclwwlklem2a 26313. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2fv2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑃
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkisclwwlklem2.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})))
21a1i 11 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))))
3 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2))
4 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
5 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
64, 5jctir 559 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
7 zsubcl 11296 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1211ex 449 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
13 zre 11258 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
14 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
15 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
1714, 16resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ)
19 lttri3 10000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℝ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
2013, 18, 19syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) ↔ (¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥)))
21 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2) ∧ ¬ ((#‘𝑃) − 2) < 𝑥) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2220, 21syl6bi 242 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2322ex 449 . . . . . . . 8 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2412, 23syld 46 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2524com13 86 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))))
2625pm2.43i 50 . . . . 5 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2)))
2726impcom 445 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → ¬ 𝑥 < ((#‘𝑃) − 2))
2827iffalsed 4047 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}))
29 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = ((#‘𝑃) − 2) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3029adantl 481 . . . . 5 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 2)))
3130preq1d 4218 . . . 4 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → {(𝑃𝑥), (𝑃‘0)} = {(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)})
3231fveq2d 6107 . . 3 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)}) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
3328, 32eqtrd 2644 . 2 ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥 = ((#‘𝑃) − 2)) → if(𝑥 < ((#‘𝑃) − 2), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘0)})) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
346adantr 480 . . . . 5 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
3534, 7syl 17 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ)
3614, 16subge0d 10496 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (0 ≤ ((#‘𝑃) − 2) ↔ 2 ≤ (#‘𝑃)))
3736biimpar 501 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2))
38 elnn0z 11267 . . . 4 (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((#‘𝑃) − 2)))
3935, 37, 38sylanbrc 695 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0)
40 nn0ge2m1nn 11237 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ)
41 1red 9934 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
4215a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ∈ ℝ)
4314adantr 480 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
44 1lt2 11071 . . . . 5 1 < 2
4544a1i 11 . . . 4 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 1 < 2)
4641, 42, 43, 45ltsub2dd 10519 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1))
47 elfzo0 12376 . . 3 (((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↔ (((#‘𝑃) − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝑃) − 2) < ((#‘𝑃) − 1)))
4839, 40, 46, 47syl3anbrc 1239 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) − 2) ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
49 fvex 6113 . . 3 (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V
5049a1i 11 . 2 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}) ∈ V)
512, 33, 48, 50fvmptd 6197 1 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (𝐹‘((#‘𝑃) − 2)) = (𝐸‘{(𝑃‘((#‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a4  26312  clwlkclwwlklem2a4  41206
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