Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.15nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.15nn0 36588
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 11573 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 11296 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
5 0z 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
6 congid 36556 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
74, 5, 6sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (0 − 0))
8 rmy0 36512 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
9 rmy0 36512 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 0) = 0)
108, 9oveqan12d 6568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)) = (0 − 0))
117, 10breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
12 1z 11284 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
13 congid 36556 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
144, 12, 13sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ (1 − 1))
15 rmy1 36513 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
16 rmy1 36513 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 Yrm 1) = 1)
1715, 16oveqan12d 6568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)) = (1 − 1))
1814, 17breqtrrd 4611 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
19 pm3.43 902 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
2043ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
21 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 2 ∈ ℤ)
23 simp2l 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
24 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
25243ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
26 frmy 36497 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2726fovcl 6663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2823, 25, 27syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
291adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℤ)
30293ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
3128, 30zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ)
3222, 31zmulcld 11364 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ)
33 simp2r 1081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ (ℤ‘2))
3426fovcl 6663 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
3533, 25, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
362adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37363ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
3835, 37zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ)
3922, 38zmulcld 11364 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ)
40 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
42413ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
4326fovcl 6663 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4423, 42, 43syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4526fovcl 6663 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
4633, 42, 45syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
47 congid 36556 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
4820, 21, 47sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (2 − 2))
49 simp3r 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
50 iddvds 14833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵) ∈ ℤ → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))
52 congmul 36552 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm 𝑏) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1346 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))
54 congmul 36552 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℤ ∧ ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ (2 − 2) ∧ (𝐴𝐵) ∥ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) − ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1346 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))))
56 simp3l 1082 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
57 congsub 36555 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1346 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
59 rmyluc 36520 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
6023, 25, 59syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
61 rmyluc 36520 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6233, 25, 61syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
6360, 62oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) − ((2 · ((𝐵 Yrm 𝑏) · 𝐵)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
6458, 63breqtrrd 4611 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
65643exp 1256 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6665a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))) ∧ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
6719, 66syl5 33 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
68 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
69 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 0))
7068, 69oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))
7170breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0))))
7271imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 0) − (𝐵 Yrm 0)))))
73 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
74 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 1))
7573, 74oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))
7675breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1))))
7776imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 1) − (𝐵 Yrm 1)))))
78 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
79 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))
8078, 79oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))
8180breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1)))))
8281imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 − 1))))))
83 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
84 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑏))
8583, 84oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))
8685breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏))))
8786imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑏) − (𝐵 Yrm 𝑏)))))
88 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
89 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))
9088, 89oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))
9190breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1)))))
9291imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) − (𝐵 Yrm (𝑏 + 1))))))
93 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
94 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐵 Yrm 𝑎) = (𝐵 Yrm 𝑁))
9593, 94oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
9695breq2d 4595 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9796imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑎) − (𝐵 Yrm 𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))))
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 36528 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁))))
9998impcom 445 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
100993impa 1251 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐵 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cdvds 14821   Yrm crmy 36483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-squarenn 36423  df-pell1qr 36424  df-pell14qr 36425  df-pell1234qr 36426  df-pellfund 36427  df-rmx 36484  df-rmy 36485
This theorem is referenced by:  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592
  Copyright terms: Public domain W3C validator