Theorem odd2np1 14903

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 14823	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
4	3	notbid 307	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5		elznn0 11269	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		odd2np1lem 14902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8		odd2np1lem 14902	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
9		peano2z 11295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10		znegcl 11289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12	11	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
15		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
16	14, 15	mpan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
17		peano2cn 10087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
21		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
23		negcon2 10213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
24	20, 22, 23	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
25		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
26	14, 13, 15	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	14, 27	mulcli 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
29		addsubass 10170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
30	28, 27, 29	mp3an23 1408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
31	26, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
32		2t1e2 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (2 · 1) = 2
33	32	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
34		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 − 1) = 1
35	33, 34	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
36	35	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
37	31, 36	syl6req 2661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
38		adddi 9904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
39	14, 27, 38	mp3an13 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
40	13, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
41	40	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
42	37, 41	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
43	42	negeqd 10154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
44	9	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
45		mulneg2 10346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
46	14, 44, 45	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
47	46	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
48		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
49	14, 44, 48	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50		negsubdi 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
51	49, 27, 50	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
52	47, 51	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
53	43, 52	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
55	54	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
56	25, 55	syl5bb 271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
57	24, 56	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
58	57	biimpa 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
59		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
60	59	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
61	60	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
62	61	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
63	12, 58, 62	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
64	63	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
65	64	rexlimdva 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
66		znegcl 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
67	66	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
68		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
69		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
70	68, 14, 69	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
71		recn 9905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
72		negcon2 10213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
73	70, 71, 72	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
74		mulneg1 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
75	68, 14, 74	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
77	76	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
78		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
79	77, 78	syl6rbbr 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
80	73, 79	bitrd 267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
81	80	biimpa 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
82		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
83	82	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
84	83	rspcev 3282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
85	67, 81, 84	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
86	85	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
87	86	rexlimdva 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
88	65, 87	orim12d 879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
89	8, 88	syl5 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
90	89	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
91	7, 90	jaodan 822	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
92	5, 91	sylbi 206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
93		halfnz 11331	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
94		reeanv 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
95		eqtr3 2631	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
96		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97		mulcom 9901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
98	96, 14, 97	sylancl 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
99	98	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
100	99	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
101		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
102	14, 96, 101	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
103		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
104		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
105	14, 103, 104	sylancr 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
106		subadd 10163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
107	27, 106	mp3an3 1405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
108	102, 105, 107	syl2anr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
109		subcl 10159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ)
110		2cnne0 11119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
111		eqcom 2617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘 − 𝑛))
112		divmul 10567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘 − 𝑛) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
113	111, 112	syl5bb 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
114	27, 110, 113	mp3an13 1407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
115	109, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
116	115	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
117		subdi 10342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
118	14, 117	mp3an1 1403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
119	118	ancoms 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
120	119	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
121	116, 120	bitrd 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
122	103, 96, 121	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
123		zsubcl 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ)
124		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
125	123, 124	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126	125	ancoms 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127	122, 126	sylbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
128	108, 127	sylbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
129	100, 128	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
130	95, 129	syl5 33	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
131	130	rexlimivv 3018	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
132	94, 131	sylbir 224	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
133	93, 132	mto 187	. . . 4 ⊢ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
134	92, 133	jctir 559	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
135		pm5.17 928	. . . 4 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
136		bicom 211	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
137	135, 136	bitri 263	. . 3 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
138	134, 137	sylib 207	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
139	4, 138	bitrd 267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  oddm1even  14905  oexpneg  14907  mod2eq1n2dvds  14909  oddnn02np1  14910  2tp1odd  14914  sqoddm1div8z  14916  ltoddhalfle  14923  halfleoddlt  14924  opoe  14925  omoe  14926  opeo  14927  omeo  14928  m1expo  14930  m1exp1  14931  flodddiv4  14975  iserodd  15378  leibpilem1  24467  lgsquadlem1  24905  knoppndvlem9  31681  coskpi2  38749  cosknegpi  38752  stirlinglem5  38971  fourierswlem  39123  fmtnoodd  39983  dfodd3  40101