Theorem uzsubsubfz 12234

Description: Membership of an integer greater than L decreased by ( L - M ) in an M based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uzsubsubfz	⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem uzsubsubfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11569	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
2		eluz2 11569	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))
3		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zsubcl 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7	6	adantlr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)
9	3, 5, 8	3jca 1235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
10	9	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
11	10	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
12	11	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ)))
14	13	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ))
15		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑁 ∈ ℝ)
18		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
21	17, 20	subge0d 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
22	21	exbiri 650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
23	22	com23 84	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))))
24	23	3impia 1253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
25	24	impcom 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
26		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
29		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
30	15, 18, 29	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
31	30	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℝ)
33	28, 32	addge02d 10495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀)))
34	25, 33	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
35		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
36	35	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
39	38	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℂ)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝐿 ∈ ℂ)
41		zcn 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
44	37, 40, 43	subsubd 10299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝑁 − 𝐿) + 𝑀))
45	34, 44	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)))
46	18	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝐿 ∈ ℝ)
47		subge0 10420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
48	46, 26, 47	syl2anr 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
49	48	exbiri 650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐿 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
50	49	com23 84	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝐿 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))))
51	50	imp31 447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
52	15	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
54		resubcl 10224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
55	46, 27, 54	syl2anr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
56	53, 55	subge02d 10498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
57	51, 56	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)
58	45, 57	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁))
59		elfz2 12204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∧ (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ≤ 𝑁)))
60	14, 58, 59	sylanbrc 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))
61	60	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
62	61	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
63	2, 62	syl5bi 231	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
64	1, 63	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁)))
65	64	imp 444	1 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐿)) → (𝑁 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  uzsubsubfz1  12235