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Theorem cncongr1 15219

Description: One direction of the bicondition in cncongr 15221. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
cncongr1	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))

Proof of Theorem cncongr1 Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 11303	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
2	1	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ)
3		zmulcl 11303	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
5		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6		congr 15216	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
7	2, 4, 5, 6	syl2an3an 1378	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶))))
8		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
9		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
11	9, 10	jca 553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0))
13		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))
14	8, 12, 13	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))
15	14	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
16	15	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
17	16	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁))))
19	18	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)))
20		divgcdcoprmex 15218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ (𝐶 gcd 𝑁) = (𝐶 gcd 𝑁)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1))
23		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
24	23	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → (𝑘 · 𝑁) = (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
26		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐴 · 𝐶) = (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))
27		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))
28	26, 27	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
29	28	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
30	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))))
31	25, 30	eqeq12d 2625	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) ↔ (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)))))
32		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
35		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐶 ∈ ℤ)
37	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	36, 38	gcdcld 15068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
40	39	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
42		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℤ)
43	42	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∈ ℂ)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ)
45	34, 41, 44	mul12d 10124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)))
46		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	46	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
49	48	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
50	35	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
51	5	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
54	50, 53	gcdcld 15068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
55	54	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
57		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
58	57	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℂ)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℂ)
60	49, 56, 59	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)))
61		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
62	61	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
64	63	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	36, 52	gcdcld 15068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
66	65	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
67	66	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
68	64, 67, 59	mul12d 10124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))
69	60, 68	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))))
70	45, 69	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟)))))
71	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐴 ∈ ℤ)
72	71	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
73	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑟 ∈ ℤ)
74	72, 73	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
75	74	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℂ)
76	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝐵 ∈ ℤ)
77	76	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
78	77, 73	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
79	78	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℂ)
80	67, 75, 79	subdid 10365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))))
81	80	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
82	81	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐴 · 𝑟)) − ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝐵 · 𝑟))) ↔ ((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))))
83	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
84	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℤ)
85	83, 84	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℤ)
86	85	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
87		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
88	87, 57	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ))
89		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑟) ∈ ℤ)
91		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
92	91, 57	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ))
93		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑟) ∈ ℤ)
95	90, 94	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℤ)
96	95	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)
97	96	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
98	97	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
99	98	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ))
100	99	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ∈ ℂ)
101	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ≠ 0)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ≠ 0)
103		gcd2n0cl 15069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
104	36, 52, 102, 103	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
105		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
107	106	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)
108	86, 100, 67, 107	mulcand 10539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (((𝐶 gcd 𝑁) · (𝑘 · 𝑠)) = ((𝐶 gcd 𝑁) · ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
109	70, 82, 108	3bitrd 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
110	109	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟))))
111		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
112		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
113	111, 112	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
114	113	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
115	114	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
116	115, 58	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
117		df-3an 1033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
118	116, 117	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
119		subdir 10343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)))
121	120	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))
122	121	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟))
123	122	eqeq2d 2620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) ↔ (𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)))
124	5	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
126	125	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
127	84	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → 𝑠 ∈ ℂ)
128	66, 106	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
129	128	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0))
130		divmul2 10568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐶 gcd 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐶 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 ↔ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
131	126, 127, 129, 130	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 ↔ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)))
132		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
133	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑟 ∈ ℤ)
134	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
135	134, 36	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
136		divgcdnnr 15075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
139	138	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
140		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑠 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
141	140	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
142	141	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ ↔ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
143	139, 142	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ)
144	133, 143	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
145	132, 144	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)))
146		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠)
147	145, 146	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠))
148		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
149	148	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
150	149	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
151	150	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
152		dvdsmul2 14842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠))
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠))
154		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟)))
155		zsubcl 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
156	155	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
157	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
158		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑟 ∈ ℂ)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑟 ∈ ℂ)
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → 𝑟 ∈ ℂ)
162	157, 161	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) = (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)))
163	162	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) ↔ 𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵))))
164	148	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
165		gcdcom 15073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟))
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑟 gcd 𝑠) = (𝑠 gcd 𝑟))
167	166	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1))
168	167	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1))
169	168	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 ↔ (𝑠 gcd 𝑟) = 1))
170	164	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ))
171	170	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ))
172	155, 171	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)))
173	172	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
174		df-3an 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) ↔ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
175	173, 174	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ))
176		coprmdvds 15204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
178		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
179	178	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → 𝑠 ∈ ℕ)
180	179	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
181	180	ancomd 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
182		3anass 1035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
183	181, 182	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
184		moddvds 14829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠) ↔ 𝑠 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
186	177, 185	sylibrd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) ∧ (𝑠 gcd 𝑟) = 1) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
187	186	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝑠 gcd 𝑟) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
188	187	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑠 gcd 𝑟) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
189	169, 188	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
190	189	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑟 · (𝐴 − 𝐵)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
191	163, 190	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
192	191	com3l 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 ∥ ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
193	154, 192	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
194	193	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → (𝑠 ∥ (𝑘 · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
195	153, 194	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ))) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
196	195	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
197	196	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
198	197	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
199	198	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))))
200	199	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))))
201	200	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
202	201	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
203	202	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
204		eqtr2 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → 𝑀 = 𝑠)
205		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑠))
206		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑠))
207	205, 206	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑀 = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
208	204, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
209	208	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑀 → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
210	209	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
211	210	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
212	211	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
213	212	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠))))
214	213	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
215	214	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ (𝐴 mod 𝑠) = (𝐵 mod 𝑠)))
216	203, 215	sylibrd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
217	216	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
218	147, 217	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
219	218	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)) = 𝑠 → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
220	131, 219	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
221	220	com3l 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))))
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) → (𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) → ((𝑟 gcd 𝑠) = 1 → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))))
223	222	3imp 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
224	223	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑟) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
225	123, 224	sylbid 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑠) = ((𝐴 · 𝑟) − (𝐵 · 𝑟)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
226	110, 225	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠)) = ((𝐴 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟)) − (𝐵 · ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟))) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
227	31, 226	sylbid 229	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) ∧ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1)) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
228	227	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ)) → ((𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
229	228	rexlimdvva 3020	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑠 ∈ ℤ (𝐶 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑟) ∧ 𝑁 = ((𝐶 gcd 𝑁) · 𝑠) ∧ (𝑟 gcd 𝑠) = 1) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))))
230	22, 229	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
231	230	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑁) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))
232	7, 231	sylbid 229	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 = (𝑁 / (𝐶 gcd 𝑁)))) → (((𝐴 · 𝐶) mod 𝑁) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝑁) → (𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 class class class wbr 4583 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 · cmul 9820 − cmin 10145 / cdiv 10563 ℕcn 10897 ℤcz 11254 mod cmo 12530 ∥ cdvds 14821 gcd cgcd 15054

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-sup 8231 df-inf 8232 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822 df-gcd 15055

This theorem is referenced by: cncongr 15221

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