Theorem aaliou3lem1 23901

Description: Lemma for aaliou3 23910. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
aaliou3lem.a	⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → (𝑐 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)))
3	2	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐵 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
4		aaliou3lem.a	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐 − 𝐴))))
5		ovex 6577	. . . 4 ⊢ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6191	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))))
8		2rp 11713	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
10	9	nnnn0d 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11		faccl 12932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
13	12	nnzd 11357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
14	13	znegcld 11360	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
15		rpexpcl 12741	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
16	8, 14, 15	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
17		halfre 11123	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
18		halfgt0 11125	. . . . . 6 ⊢ 0 < (1 / 2)
19	17, 18	elrpii 11711	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
20		eluzelz 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
21		nnz 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
22		zsubcl 11296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
23	20, 21, 22	syl2anr 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ)
24		rpexpcl 12741	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
25	19, 23, 24	sylancr 694	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ+)
26	16, 25	rpmulcld 11764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ+)
27	26	rpred 11748	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐵 − 𝐴))) ∈ ℝ)
28	7, 27	eqeltrd 2688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722  !cfa 12922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923

This theorem is referenced by:  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem3  23903