Theorem divalgmodOLD 14968

Description: Obsolete proof of divalgmod 14967 as of 21-Aug-2021. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
divalgmodOLD	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑟   𝑁,𝑟

Proof of Theorem divalgmodOLD

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnrp 11718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
3		modlt 12541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
4	1, 2, 3	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷)
5		nnre 10904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
6		nnne0 10930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ≠ 0)
7		redivcl 10623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
8	1, 5, 6, 7	syl3an 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
9	8	3anidm23 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐷) ∈ ℝ)
10	9	flcld 12461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ)
11		nnz 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℤ)
13		zmodcl 12552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ)
15		zsubcl 11296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
16	14, 15	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ)
17		nncn 10905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	10	zcnd 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℂ)
20	18, 19	mulcomd 9940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷))
21		modval 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
22	1, 2, 21	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
23		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		zmulcl 11303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
26	11, 10, 25	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ)) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
27	26	anabss7 858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ)
29	13	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ)
30		subsub23 10165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
31	24, 28, 29, 30	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
32		eqcom 2617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))))
33		eqcom 2617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) = (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
34	31, 32, 33	3bitr3g 301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐷) = (𝑁 − (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷)))) ↔ (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
35	22, 34	mpbid 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝐷 · (⌊‘(𝑁 / 𝐷))) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
36	20, 35	eqtr3d 2646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
37		dvds0lem 14830	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝑁 / 𝐷)) · 𝐷) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
38	10, 12, 16, 36, 37	syl31anc 1321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
39		divalg2 14966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))
40		breq1 4586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑧 < 𝐷 ↔ (𝑁 mod 𝐷) < 𝐷))
41		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))
42	41	breq2d 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))))
43	40, 42	anbi12d 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑁 mod 𝐷) → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ ((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷)))))
44	43	riota2 6533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 mod 𝐷) ∈ ℕ0 ∧ ∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
45	13, 39, 44	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (((𝑁 mod 𝐷) < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐷))) ↔ (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷)))
46	4, 38, 45	mpbi2and 958	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))) = (𝑁 mod 𝐷))
47	46	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐷) = (℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))))
48	47	sneqd 4137	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
49		snriota 6540	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
50	39, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} = {(℩𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)))})
51	48, 50	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → {(𝑁 mod 𝐷)} = {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))})
52	51	eleq2d 2673	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑟 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))}))
53		velsn 4141	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ {(𝑁 mod 𝐷)} ↔ 𝑟 = (𝑁 mod 𝐷))
54		breq1 4586	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑧 < 𝐷 ↔ 𝑟 < 𝐷))
55		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝑁 − 𝑧) = (𝑁 − 𝑟))
56	55	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
57	54, 56	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑟 → ((𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧)) ↔ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
58	57	elrab 3331	. 2 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑧 ∈ ℕ0 ∣ (𝑧 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑧))} ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
59	52, 53, 58	3bitr3g 301	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑟 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃!wreu 2898  {crab 2900  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822

This theorem is referenced by: (None)