Theorem nnrp 11718

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10904	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 10926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 11710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  ℕcn 10897  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  nnrpd  11746  nn0ledivnn  11817  adddivflid  12481  divfl0  12487  fldivnn0le  12495  zmodcl  12552  zmodfz  12554  zmodid2  12560  m1modnnsub1  12578  addmodid  12580  modifeq2int  12594  modaddmodup  12595  modaddmodlo  12596  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  nnesq  12850  digit2  12859  digit1  12860  bcrpcl  12957  bcval5  12967  lswccatn0lsw  13226  cshw0  13391  cshwmodn  13392  cshwsublen  13393  cshwidxmod  13400  cshwidxmodr  13401  cshwidxm1  13404  cshwidxm  13405  repswcshw  13409  2cshw  13410  cshweqrep  13418  modfsummods  14366  divcnv  14424  supcvg  14427  harmonic  14430  expcnv  14435  rpnnen2lem11  14792  sqrt2irr  14817  dvdsval3  14825  moddvds  14829  mulmoddvds  14889  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  flodddiv4  14975  modgcd  15091  divgcdcoprm0  15217  isprm5  15257  isprm6  15264  nnnn0modprm0  15349  pythagtriplem13  15370  fldivp1  15439  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  4sqlem12  15498  modxai  15610  modsubi  15614  mulgmodid  17404  odmodnn0  17782  gexdvds  17822  sylow1lem1  17836  gexexlem  18078  znf1o  19719  met1stc  22136  lmnn  22869  bcthlem5  22933  minveclem3  23008  vitalilem4  23186  vitali  23188  ismbf3d  23227  itg2seq  23315  plyeq0lem  23770  elqaalem3  23880  aalioulem6  23896  aaliou  23897  logtayllem  24205  atan1  24455  leibpi  24469  birthdaylem2  24479  dfef2  24497  divsqrtsumlem  24506  emcllem1  24522  emcllem2  24523  emcllem3  24524  emcllem4  24525  emcllem6  24527  zetacvg  24541  lgam1  24590  ppiub  24729  vmalelog  24730  logfacbnd3  24748  logexprlim  24750  bcmono  24802  bclbnd  24805  bposlem1  24809  bposlem7  24815  bposlem8  24816  bposlem9  24817  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem6  24897  m1lgs  24913  2lgslem1a1  24914  2lgslem3a1  24925  2lgslem3b1  24926  2lgslem3c1  24927  2lgslem3d1  24928  2lgslem4  24931  2lgsoddprmlem2  24934  rplogsumlem1  24973  dchrisumlema  24977  dchrisumlem2  24979  dchrisumlem3  24980  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem2a  25006  rplogsum  25016  logdivsum  25022  mulog2sumlem2  25024  logsqvma  25031  logsqvma2  25032  log2sumbnd  25033  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  pntibndlem1  25078  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlemd  25083  pntlema  25085  pntlemb  25086  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemo  25096  lnconi  28276  circum  30822  bccolsum  30878  faclimlem3  30884  faclim  30885  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem3  32618  itg2addnclem2  32632  itg2addnclem3  32633  itg2addnc  32634  pellexlem4  36414  pell1qrgaplem  36455  pellqrex  36461  congrep  36558  acongeq  36568  proot1ex  36798  hashnzfzclim  37543  xrralrecnnle  38543  nnrecrp  38546  xrralrecnnge  38554  iooiinicc  38616  iooiinioc  38630  fprodsubrecnncnvlem  38794  fprodaddrecnncnvlem  38796  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  stirlinglem1  38967  stirlinglem2  38968  stirlinglem3  38969  stirlinglem4  38970  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  dirkertrigeqlem1  38991  hoicvrrex  39446  ovnsubaddlem2  39461  hoiqssbllem3  39514  iinhoiicc  39565  iunhoiioo  39567  vonioolem1  39571  vonioolem2  39572  vonicclem1  39574  vonicclem2  39575  preimageiingt  39607  preimaleiinlt  39608  mod42tp1mod8  40057  lighneallem2  40061  3exp4mod41  40071  41prothprmlem2  40073  perfectALTVlem2  40165  fsummmodsndifre  40373  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem6  41018  mod0mul  42108  modn0mul  42109  m1modmmod  42110  difmodm1lt  42111  nnlog2ge0lt1  42158  blennnelnn  42168  nnpw2blen  42172  blen1b  42180  blennnt2  42181  blennn0e2  42186  dignn0fr  42193  dignn0ldlem  42194  dignnld  42195  dig2nn1st  42197  dig0  42198