Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimaleiinlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimaleiinlt 39608
 Description: A preimage of a left-open, right-closed, unbounded below interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbound below intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimaleiinlt.x 𝑥𝜑
preimaleiinlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimaleiinlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimaleiinlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimaleiinlt
StepHypRef Expression
1 preimaleiinlt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimaleiinlt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 preimaleiinlt.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
76rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
9 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
118, 10readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1211ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
14 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵𝐶)
15 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
16 rpreccl 11733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
198, 18ltaddrpd 11781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
2019ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
214, 7, 13, 14, 20xrlelttrd 11867 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
222, 21jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
23 rabid 3095 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ (𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))))
2422, 23sylibr 223 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2524ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
26 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4461 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
2925, 28sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐵𝐶) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
3029ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3130ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})))
321, 31ralrimi 2940 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
33 nfcv 2751 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3099 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3533, 34nfiin 4485 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}
3635rabssf 38334 . . 3 ({𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝐶𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))}))
3732, 36sylibr 223 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
38 nnn0 38536 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
40 iinrab 4518 . . . 4 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
423ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4311ad4ant13 1284 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4443rexrd 9968 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐶 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
45 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4642, 44, 45xrltled 38427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
4746ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4847ralimdva 2945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
4948imp 444 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛)))
50 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
51 nfra1 2925 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))
5250, 51nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)))
533adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
545ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐶 ∈ ℝ)
5552, 53, 54xrralrecnnle 38543 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → (𝐵𝐶 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 ≤ (𝐶 + (1 / 𝑛))))
5649, 55mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))) → 𝐵𝐶)
5756ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
5857ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶)))
591, 58ralrimi 2940 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
60 ss2rab 3641 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛)) → 𝐵𝐶))
6159, 60sylibr 223 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6241, 61eqsstrd 3602 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))} ⊆ {𝑥𝐴𝐵𝐶})
6337, 62eqssd 3585 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵𝐶} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴𝐵 < (𝐶 + (1 / 𝑛))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ ciin 4456   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℝ+crp 11708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455 This theorem is referenced by:  salpreimaltle  39612  issmfltle  39622
 Copyright terms: Public domain W3C validator