Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmodm1lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmodm1lt 42111
 Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
difmodm1lt ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
2 zre 11258 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 nnre 10904 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
543ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1lt2 11071 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
7 1red 9934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
107, 9, 43jca 1235 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
11 lttr 9993 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
136, 12mpani 708 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁))
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁)))
15143imp 1249 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
163, 5, 153jca 1235 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
18 m1mod0mod1 39949 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
201, 19mpbird 246 . . . 4 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
211, 20oveq12d 6567 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = (1 − 0))
22 df-2 10956 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
2322breq1i 4590 . . . . . . . . 9 (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
2423biimpi 205 . . . . . . . 8 (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
26 1red 9934 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
274adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
2826, 26, 27ltaddsub2d 10507 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
2925, 28mpbid 221 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
30 1m0e1 11008 . . . . . . 7 (1 − 0) = 1
3130breq1i 4590 . . . . . 6 ((1 − 0) < (𝑁 − 1) ↔ 1 < (𝑁 − 1))
3229, 31sylibr 223 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
33323adant1 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
3433adantl 481 . . 3 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
3521, 34eqbrtrd 4605 . 2 (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
36 zmodfz 12554 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
37363adant3 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
38 elfzle2 12216 . . . . . 6 ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
4039adantl 481 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
41 nnrp 11718 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42413ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
433, 42modcld 12536 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44 peano2rem 10227 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
454, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
46453ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47 peano2zm 11297 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4847zred 11358 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
49483ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5049, 42modcld 12536 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
5143, 46, 503jca 1235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
5251adantl 481 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
53 lesub1 10401 . . . . 5 (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
5452, 53syl 17 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
5540, 54mpbid 221 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
5649, 42jca 553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5756adantl 481 . . . . . . 7 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
58 modge0 12540 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
6016, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
6160bicomd 212 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
6261notbid 307 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
6362biimpac 502 . . . . . . 7 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
6463neqned 2789 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)
6559, 64jca 553 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))
66 0red 9920 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
6766, 50jca 553 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
6867adantl 481 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
69 ltlen 10017 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
7068, 69syl 17 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
7165, 70mpbird 246 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
7250, 46jca 553 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
7372adantl 481 . . . . 5 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
74 ltsubpos 10399 . . . . 5 ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
7573, 74syl 17 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
7671, 75mpbid 221 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
7743, 50resubcld 10337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
7846, 50resubcld 10337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
7977, 78, 463jca 1235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
8079adantl 481 . . . 4 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
81 lelttr 10007 . . . 4 ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
8280, 81syl 17 . . 3 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
8355, 76, 82mp2and 711 . 2 ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
8435, 83pm2.61ian 827 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197   mod cmo 12530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator