Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2seq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2seq 23315
 Description: Definitional property of the ∫2 integral: for any function 𝐹 there is a countable sequence 𝑔 of simple functions less than 𝐹 whose integrals converge to the integral of 𝐹. (This theorem is for the most part unnecessary in lieu of itg2i1fseq 23328, but unlike that theorem this one doesn't require 𝐹 to be measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2seq (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
Distinct variable group:   𝑔,𝑛,𝐹

Proof of Theorem itg2seq
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnre 10904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
21ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 ltpnf 11830 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑛 < +∞)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑛 < +∞)
5 iftrue 4042 . . . . . . . . . . 11 ((∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
65adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
7 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) = +∞)
84, 6, 73brtr4d 4615 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
9 iffalse 4045 . . . . . . . . . . 11 (¬ (∫2𝐹) = +∞ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
11 itg2cl 23305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
12 xrrebnd 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) ∈ ℝ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
14 itg2ge0 23308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2𝐹))
15 mnflt0 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
16 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
17 0xr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
18 xrltletr 11864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
1916, 17, 18mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2011, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((-∞ < 0 ∧ 0 ≤ (∫2𝐹)) → -∞ < (∫2𝐹)))
2115, 20mpani 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (0 ≤ (∫2𝐹) → -∞ < (∫2𝐹)))
2214, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → -∞ < (∫2𝐹))
2322biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ (-∞ < (∫2𝐹) ∧ (∫2𝐹) < +∞)))
24 nltpnft 11871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) = +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) < +∞))
2625con2bid 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((∫2𝐹) < +∞ ↔ ¬ (∫2𝐹) = +∞))
2713, 23, 263bitr2rd 296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (¬ (∫2𝐹) = +∞ ↔ (∫2𝐹) ∈ ℝ))
2827biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
2928adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
30 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3130rpreccld 11758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3231ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3329, 32ltsubrpd 11780 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) < (∫2𝐹))
3410, 33eqbrtrd 4605 . . . . . . . . 9 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
358, 34pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹))
36 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3736ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3829, 37resubcld 10337 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
392, 38ifclda 4070 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
4039rexrd 9968 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
4111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
42 xrltnle 9984 . . . . . . . . 9 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4340, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4435, 43mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
45 itg2leub 23307 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4640, 45syldan 486 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((∫2𝐹) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
4744, 46mtbid 313 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
48 rexanali 2981 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 → (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
4947, 48sylibr 223 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
50 itg1cl 23258 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∫1𝑓) ∈ ℝ)
51 ltnle 9996 . . . . . . . 8 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ ∧ (∫1𝑓) ∈ ℝ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5239, 50, 51syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
5352anbi2d 736 . . . . . 6 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑓 ∈ dom ∫1) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ (𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5453rexbidva 3031 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ ¬ (∫1𝑓) ≤ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))))
5549, 54mpbird 246 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
5655ralrimiva 2949 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)))
57 ovex 6577 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 ℝ) ∈ V
58 i1ff 23249 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥:ℝ⟶ℝ)
59 reex 9906 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6059, 59elmap 7772 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ) ↔ 𝑥:ℝ⟶ℝ)
6158, 60sylibr 223 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ))
6261ssriv 3572 . . . . 5 dom ∫1 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ℝ)
6357, 62ssexi 4731 . . . 4 dom ∫1 ∈ V
64 nnenom 12641 . . . 4 ℕ ≈ ω
65 breq1 4586 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (𝑓𝑟𝐹 ↔ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹))
66 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (∫1𝑓) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
6766breq2d 4595 . . . . 5 (𝑓 = (𝑔𝑛) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓) ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))
6865, 67anbi12d 743 . . . 4 (𝑓 = (𝑔𝑛) → ((𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) ↔ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
6963, 64, 68axcc4 9144 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ dom ∫1(𝑓𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1𝑓)) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
7056, 69syl 17 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))))
71 simprl 790 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → 𝑔:ℕ⟶dom ∫1)
72 simpl 472 . . . . . . 7 (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7372ralimi 2936 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
7473ad2antll 761 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹)
75 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑔𝑛) = (𝑔𝑚))
7675fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (∫1‘(𝑔𝑛)) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
7776cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
7877rneqi 5273 . . . . . . . . . 10 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
7978supeq1i 8236 . . . . . . . . 9 sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )
80 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1)
81 itg1cl 23258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
83 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))
8482, 83fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
8584ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
86 frn 5966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
88 ressxr 9962 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℝ*
8987, 88syl6ss 3580 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
90 supxrcl 12017 . . . . . . . . . 10 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9279, 91syl5eqelr 2693 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
93 elxr 11826 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
94 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
95 arch 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛)
975adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = 𝑛)
9897breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < 𝑛))
9998rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < 𝑛))
10096, 99mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
10128adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
102 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
103101, 102resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ)
104 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 𝑥 < (∫2𝐹))
105102, 101posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)))
106104, 105mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥))
107 nnrecl 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((∫2𝐹) − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < ((∫2𝐹) − 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
108103, 106, 107syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥))
10936adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
110101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
111102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
112 ltsub13 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
113109, 110, 111, 112syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
1149ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) = ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))
115114breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 < ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
116113, 115bitr4d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
117116rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < ((∫2𝐹) − 𝑥) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
118108, 117mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) ∧ ¬ (∫2𝐹) = +∞) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
119100, 118pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < (∫2𝐹))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
120119expr 641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛)))))
121 rexr 9964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
122 xrltnle 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
123121, 11, 122syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 < (∫2𝐹) ↔ ¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
124121ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12540adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
126 xrltnle 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
127124, 125, 126syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
128127rexbidva 3031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
129 rexnal 2978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑛 ∈ ℕ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
130128, 129syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
131120, 123, 1303imtr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (∫2𝐹) ≤ 𝑥 → ¬ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥))
132131con4d 113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
13311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
134 pnfge 11840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∫2𝐹) ∈ ℝ* → (∫2𝐹) ≤ +∞)
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ +∞)
136 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝑥 = +∞)
137135, 136breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∫2𝐹) ≤ 𝑥)
138137a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = +∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
139 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
140139ne0ii 3882 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ≠ ∅
141 r19.2z 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ ≠ ∅ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥) → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
142140, 141mpan 702 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
14339adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
144 mnflt 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → -∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))))
145 rexr 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
146 xrltnle 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*) → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
14716, 145, 146sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → (-∞ < if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ↔ ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
148144, 147mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
149143, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞)
150 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 = -∞)
151150breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ -∞))
152149, 151mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ¬ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
153152nrexdv 2984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥)
154153pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∃𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
155142, 154syl5 33 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = -∞) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
156132, 138, 1553jaodan 1386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞)) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
15793, 156sylan2b 491 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
158157ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
159158adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥))
16040adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ*)
16182adantll 746 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ)
162161rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*)
163 xrltle 11858 . . . . . . . . . . . . 13 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ*) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
164160, 162, 163syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛))))
16584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ)
166165, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ)
167166, 88syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
168167adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ*)
16978, 168syl5eqssr 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ*)
170 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝑔𝑚) = (𝑔𝑛))
171170fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → (∫1‘(𝑔𝑚)) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
172 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))
173 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ V
174171, 172, 173fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) = (∫1‘(𝑔𝑛)))
175 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∫1‘(𝑔𝑚)) ∈ V
176175, 172fnmpti 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ
177 fnfvelrn 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) Fn ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
178176, 177mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))‘𝑛) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
179174, 178eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))))
181 supxrub 12026 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))) ⊆ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚)))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
182169, 180, 181syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
183168, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18479, 183syl5eqelr 2693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
185 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
186160, 162, 184, 185syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) ∧ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
187182, 186mpan2d 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
188164, 187syld 46 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
189188adantld 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
190189ralimdva 2945 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
191190impr 647 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
192 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
193192ralbidv 2969 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
194 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∫2𝐹) ≤ 𝑥 ↔ (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < )))
195193, 194imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → ((∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥) ↔ (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))))
196195rspcv 3278 . . . . . . . 8 (sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ 𝑥 → (∫2𝐹) ≤ 𝑥) → (∀𝑛 ∈ ℕ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))))
19792, 159, 191, 196syl3c 64 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑚 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑚))), ℝ*, < ))
198197, 79syl6breqr 4625 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
199 itg2ub 23306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
2001993expia 1259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔𝑛) ∈ dom ∫1) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
20180, 200sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
202201anassrs 678 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
203202adantrd 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
204203ralimdva 2945 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹)))
205204impr 647 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
20676, 83, 175fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑔𝑚)))
207206breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
208207ralbiia 2962 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
20976breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹)))
210209cbvralv 3147 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
211208, 210bitr4i 266 . . . . . . . . 9 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (∫1‘(𝑔𝑛)) ≤ (∫2𝐹))
212205, 211sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹))
213 ffn 5958 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))):ℕ⟶ℝ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ)
214 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) → (𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
215214ralrn 6270 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
21685, 213, 2153syl 18 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))‘𝑚) ≤ (∫2𝐹)))
217212, 216mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹))
21811adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
219 supxrleub 12028 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))) ⊆ ℝ* ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
22089, 218, 219syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛)))𝑧 ≤ (∫2𝐹)))
221217, 220mpbird 246 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))
22211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → (∫2𝐹) ∈ ℝ*)
223167, 90syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
224 xrletri3 11861 . . . . . . . 8 (((∫2𝐹) ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
225222, 223, 224syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑔:ℕ⟶dom ∫1) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
226225adantrr 749 . . . . . 6 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → ((∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ↔ ((∫2𝐹) ≤ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ∧ sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ) ≤ (∫2𝐹))))
227198, 221, 226mpbir2and 959 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))
22871, 74, 2273jca 1235 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛))))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
229228ex 449 . . 3 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ((𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → (𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
230229eximdv 1833 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → (∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ if((∫2𝐹) = +∞, 𝑛, ((∫2𝐹) − (1 / 𝑛))) < (∫1‘(𝑔𝑛)))) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < ))))
23170, 230mpd 15 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) → ∃𝑔(𝑔:ℕ⟶dom ∫1 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∘𝑟𝐹 ∧ (∫2𝐹) = sup(ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑔𝑛))), ℝ*, < )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794   ↑𝑚 cmap 7744  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℝ+crp 11708  [,]cicc 12049  ∫1citg1 23190  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator