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Theorem itg2const2 23314
 Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3 rpre 11715 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
43ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 rpge0 11721 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐵)
65ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
7 elrege0 12149 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
84, 6, 7sylanbrc 695 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9 itg2const 23313 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1318 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
114, 2remulcld 9949 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
1210, 11eqeltrd 2688 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
13 mblvol 23105 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
1413ad2antrr 758 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
15 mblss 23106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1615ad3antrrr 762 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17 peano2re 10088 . . . . . . . 8 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
1817adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
19 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2018, 19rerpdivcld 11779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
22 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
23 ovollecl 23058 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
2416, 21, 22, 23syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
25 simplll 794 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
2620adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
2726rexrd 9968 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
293ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3029rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
315ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
32 elxrge0 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3330, 31, 32sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
34 0e0iccpnf 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,]+∞)
35 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
3633, 34, 35sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
37 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
3836, 37fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
40 itg2ge0 23308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
4228, 41ge0p1rpd 11778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ+)
4342, 19rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
4443rpge0d 11752 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
4614breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴) ↔ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
4746biimpar 501 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))
48 0xr 9965 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
49 iccssxr 12127 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
50 volf 23104 . . . . . . . . . . . . 13 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
5150ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
5249, 51sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
54 elicc1 12090 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5548, 53, 54sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
5627, 45, 47, 55mpbir3and 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)))
57 volivth 23181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴))) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5825, 56, 57syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
5958ex 449 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))))
60 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝑧 ∈ dom vol)
61 simprrr 801 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
6220adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
6361, 62eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) ∈ ℝ)
643ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6619adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
6766rpge0d 11752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 0 ≤ 𝐵)
6865, 67, 7sylanbrc 695 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
69 itg2const 23313 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7060, 63, 68, 69syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
7161oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (vol‘𝑧)) = (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
7218recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℂ)
7364recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
74 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
7574ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
7672, 73, 75divcan2d 10682 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7776adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
7870, 71, 773eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
793adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
815adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
8280, 81, 32sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
83 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8482, 34, 83sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
86 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))
8785, 86fmptd 6292 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8887ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8939adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
90 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
91 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))) → 𝑧𝐴)
9279ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
9392leidd 10473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐵𝐵)
94 iftrue 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
96 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧𝐴)
9796sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐴)
9897iftrued 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
9993, 95, 983brtr4d 4615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
100 iffalse 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) = 0)
102 0le0 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
103 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
104 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
105103, 104ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10681, 102, 105sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
107106ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → 0 ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
108101, 107eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥𝑧) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
10999, 108pm2.61dan 828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
110109ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))
111 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
113 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)))
114 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
115112, 85, 36, 113, 114ofrfval2 6813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
116115biimpar 501 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
117110, 116syldan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
11890, 91, 117syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))
119 itg2le 23312 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12088, 89, 118, 119syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
12178, 120eqbrtrrd 4607 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
122 ltp1 10740 . . . . . . . . . 10 ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
123122ad2antlr 759 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
124 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
12517ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
126124, 125ltnled 10063 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ↔ ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0)))))
127123, 126mpbid 221 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))))
128121, 127pm2.21dd 185 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
129128rexlimdvaa 3014 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
13059, 129syld 46 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
131130imp 444 . . . 4 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13252ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
13314, 132eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
13420rexrd 9968 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
135 xrletri 11860 . . . . 5 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
136133, 134, 135syl2anc 691 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
13724, 131, 136mpjaodan 823 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
13814, 137eqeltrd 2688 . 2 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
13912, 138impbida 873 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑟 cofr 6794  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  vol*covol 23038  volcvol 23039  ∫2citg2 23191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  itg2gt0  23333
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