Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnenom 12641
 Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8423 . . 3 ω ∈ V
2 nn0ex 11175 . . 3 0 ∈ V
3 eqid 2610 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
43hashgf1o 12632 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1oen2g 7858 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
61, 2, 4, 5mp3an 1416 . 2 ω ≈ ℕ0
7 nn0ennn 12640 . 2 0 ≈ ℕ
86, 7entr2i 7897 1 ℕ ≈ ω
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  –1-1-onto→wf1o 5803  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392   ≈ cen 7838  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564 This theorem is referenced by:  nnct  12642  supcvg  14427  xpnnen  14778  znnen  14780  qnnen  14781  rexpen  14796  aleph1re  14813  aleph1irr  14814  bitsf1  15006  unben  15451  odinf  17803  odhash  17812  cygctb  18116  1stcfb  21058  2ndcredom  21063  1stcelcls  21074  hauspwdom  21114  met1stc  22136  met2ndci  22137  re2ndc  22412  iscmet3  22899  ovolctb2  23067  ovolfi  23069  ovoliunlem3  23079  iunmbl2  23132  uniiccdif  23152  dyadmbl  23174  opnmblALT  23177  mbfimaopnlem  23228  itg2seq  23315  aannenlem3  23889  dirith2  25017  nmounbseqi  27016  nmobndseqi  27018  minvecolem5  27121  padct  28885  f1ocnt  28946  dmvlsiga  29519  sigapildsys  29552  volmeas  29621  omssubadd  29689  carsgclctunlem3  29709  poimirlem30  32609  poimirlem32  32611  mblfinlem1  32616  ovoliunnfl  32621  heiborlem3  32782  heibor  32790  lzenom  36351  fiphp3d  36401  irrapx1  36410  pellex  36417  nnfoctb  38238  zenom  38244  qenom  38518  ioonct  38611  subsaliuncl  39252  caragenunicl  39414  caratheodory  39418  ovnsubaddlem2  39461
 Copyright terms: Public domain W3C validator