Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodory Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodory 39418
 Description: Caratheodory's construction of a measure given an outer measure. Proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodory.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodory.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
caratheodory (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)

Proof of Theorem caratheodory
Dummy variables 𝑎 𝑒 𝑗 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodory.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodory.s . . 3 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
31, 2caragensal 39415 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 eqid 2610 . . . 4 dom 𝑂 = dom 𝑂
51, 4omef 39386 . . 3 (𝜑𝑂:𝒫 dom 𝑂⟶(0[,]+∞))
6 caragenval 39383 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ OutMeas → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
87eqcomd 2616 . . . . 5 (𝜑 → {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} = (CaraGen‘𝑂))
92eqcomi 2619 . . . . . 6 (CaraGen‘𝑂) = 𝑆
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (CaraGen‘𝑂) = 𝑆)
118, 10eqtr2d 2645 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)})
12 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑒 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∣ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝑒)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝑒))) = (𝑂𝑎)} ⊆ 𝒫 dom 𝑂
1311, 12syl6eqss 3618 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 dom 𝑂)
145, 13fssresd 5984 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞))
151, 2caragen0 39396 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
16 fvres 6117 . . . 4 (∅ ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = (𝑂‘∅))
181ome0 39387 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘∅) = 0)
1917, 18eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑆)‘∅) = 0)
20 simp1 1054 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝜑)
21 simp2 1055 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
22 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑒𝑛) = (𝑒𝑚))
2322cbvdisjv 4564 . . . . . 6 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2423biimpi 205 . . . . 5 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
25243ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚))
2613ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑂 ∈ OutMeas)
27 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → 𝑒:ℕ⟶𝑆)
2823biimpri 217 . . . . . 6 (Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
29283ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛))
30 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑒𝑚) = (𝑒𝑛))
3130cbviunv 4495 . . . . . 6 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚) = 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛)
3231mpteq2i 4669 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑚 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑚)) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ 𝑛 ∈ (1...𝑗)(𝑒𝑛))
3326, 4, 2, 27, 29, 32caratheodorylem2 39417 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑚 ∈ ℕ (𝑒𝑚)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
3420, 21, 25, 33syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
353adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑆 ∈ SAlg)
36 nnenom 12641 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
37 endom 7868 . . . . . . . 8 (ℕ ≈ ω → ℕ ≼ ω)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . 7 ℕ ≼ ω
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ℕ ≼ ω)
40 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝑒:ℕ⟶𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4140adantll 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
4235, 39, 41saliuncl 39218 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆)
43 fvres 6117 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
45443adant3 1074 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (𝑂 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)))
46 fvres 6117 . . . . . . 7 ((𝑒𝑛) ∈ 𝑆 → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4741, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)) = (𝑂‘(𝑒𝑛)))
4847mpteq2dva 4672 . . . . 5 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛))))
4948fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
50493adant3 1074 . . 3 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑂‘(𝑒𝑛)))))
5134, 45, 503eqtr4d 2654 . 2 ((𝜑𝑒:ℕ⟶𝑆Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) → ((𝑂𝑆)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑒𝑛)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑂𝑆)‘(𝑒𝑛)))))
523, 14, 19, 51ismeannd 39360 1 (𝜑 → (𝑂𝑆) ∈ Meas)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℕcn 10897   +𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  SAlgcsalg 39204  Σ^csumge0 39255  Meascmea 39342  OutMeascome 39379  CaraGenccaragen 39381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-salg 39205  df-sumge0 39256  df-mea 39343  df-ome 39380  df-caragen 39382 This theorem is referenced by:  vonmea  39464
 Copyright terms: Public domain W3C validator