MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem5 27121
Description: Lemma for minveco 27124. Discharge the assumption about the sequence 𝐹 by applying countable choice ax-cc 9140. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables 𝑛 𝑘 𝑤 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝑛))
21adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < (1 / 𝑛))
3 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (normCV𝑈)
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 27114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
1817simp1d 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ⊆ ℝ)
1917simp2d 1067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ≠ ∅)
20 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
2117simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
22 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
2322ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2423rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
2520, 21, 24sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
26 infrecl 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2718, 19, 25, 26syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
285, 27syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℝ)
2928resqcld 12897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
304, 29ltaddposd 10490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 < (1 / 𝑛) ↔ (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
312, 30mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3229, 4readdcld 9948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3328sqge0d 12898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑆↑2))
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3532, 34elrpd 11745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ+)
3635rpge0d 11752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
37 resqrtth 13844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3832, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
3931, 38breqtrrd 4611 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2))
4035rpsqrtcld 13998 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ+)
4140rpred 11748 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
42 0red 9920 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
43 infregelb 10884 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
4521, 44mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
4645, 5syl6breqr 4625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑆)
4732, 36sqrtge0d 14007 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12905 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ (𝑆↑2) < ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2)))
4939, 48mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
5028, 41ltnled 10063 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 < (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ↔ ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆))
5149, 50mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆)
525breq2i 4591 . . . . . . . . 9 ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
53 infregelb 10884 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1321 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5552, 54syl5bb 271 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤))
5615raleqi 3119 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤)
57 fvex 6113 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
5857rgenw 2908 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
59 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
60 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6159, 60ralrnmpt 6276 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))(√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6356, 62bitri 263 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝑅 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6455, 63syl6bb 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
6551, 64mtbid 313 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
66 rexnal 2978 . . . . . 6 (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ∀𝑦𝑌 (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6765, 66sylibr 223 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
6832adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
69 phnv 27053 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
7170ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
7212ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
73 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ⊆ (SubSp‘𝑈)
7473, 11sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
75 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
766, 9, 75sspba 26966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
7770, 74, 76syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌𝑋)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌𝑋)
7978sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
806, 7nvmcl 26885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
8171, 72, 79, 80syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
826, 8nvcl 26900 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8371, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
8483resqcld 12897 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∈ ℝ)
8568, 84letrid 10068 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ∨ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8685ord 391 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) → ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
8741adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
8847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
896, 8nvge0 26912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9071, 81, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9187, 83, 88, 90le2sqd 12906 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9238adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
9392breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9491, 93bitrd 267 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
9594notbid 307 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ↔ ¬ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ≤ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2)))
966, 7, 8, 13imsdval 26925 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9771, 72, 79, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
9897oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2))
9998breq1d 4593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10086, 95, 993imtr4d 282 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝑌) → (¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
101100reximdva 3000 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑦𝑌 ¬ (√‘((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
10267, 101mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
103102ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
104 fvex 6113 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) ∈ V
1059, 104eqeltri 2684 . . . 4 𝑌 ∈ V
106 nnenom 12641 . . . 4 ℕ ≈ ω
107 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷(𝑓𝑛)))
108107oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑛) → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2))
109108breq1d 4593 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑛) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
110105, 106, 109axcc4 9144 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑌 ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
111103, 110syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛))))
11210adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑈 ∈ CPreHilOLD)
11311adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
11412adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝐴𝑋)
115 simprl 790 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → 𝑓:ℕ⟶𝑌)
116 simprr 792 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
117 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
118117oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝐷(𝑓𝑛)) = (𝐴𝐷(𝑓𝑘)))
119118oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) = ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2))
120 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
121120oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) = ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
122119, 121breq12d 4596 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ↔ ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘))))
123122rspccva 3281 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
124116, 123sylan 487 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝑓𝑘))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑘)))
125 eqid 2610 . . 3 (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = (1 / (((((𝐴𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝑓)) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 27120 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶𝑌 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝐴𝐷(𝑓𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
127111, 126exlimddv 1850 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  cin 3539  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  cexp 12722  csqrt 13821  MetOpencmopn 19557  𝑡clm 20840  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  𝑣 cnsb 26828  normCVcnmcv 26829  IndMetcims 26830  SubSpcss 26960  CPreHilOLDccphlo 27051  CBanccbn 27102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103
This theorem is referenced by:  minvecolem7  27123
  Copyright terms: Public domain W3C validator