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Theorem minvecolem5 26515
Description: Lemma for minveco 26518. Discharge the assumption about the sequence  F by applying countable choice ax-cc 8867. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables  n  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  n
) )
21adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  n
) )
3 nnrecre 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  = inf ( R ,  RR ,  <  )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  =  ( -v `  U
)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  ( IndMet `  U )
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 26508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1716adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w
) )
1817simp1d 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  C_  RR )
1917simp2d 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  =/=  (/) )
20 0re 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2117simp3d 1020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
22 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
2322ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2423rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2520, 21, 24sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
26 infrecl 10592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  -> inf ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  -> inf ( R ,  RR ,  <  )  e.  RR )
285, 27syl5eqel 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
2928resqcld 12443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
304, 29ltaddposd 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  /  n )  <->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
312, 30mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3229, 4readdcld 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3328sqge0d 12444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( S ^ 2 ) )
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3532, 34elrpd 11340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
3635rpge0d 11347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
37 resqrtth 13313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
3832, 36, 37syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3931, 38breqtrrd 4448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) )
4035rpsqrtcld 13467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
4140rpred 11343 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
42 0red 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
43 infregelb 10596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4521, 44mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ inf ( R ,  RR ,  <  ) )
4645, 5syl6breqr 4462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  S )
4732, 36sqrtge0d 13476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
4939, 48mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  < 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
5028, 41ltnled 9784 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S
) )
5149, 50mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  S )
525breq2i 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  ) )
53 infregelb 10596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w ) )
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_ inf ( R ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5552, 54syl5bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5615raleqi 3030 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w )
57 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
5857rgenw 2787 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
59 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
60 breq2 4425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6159, 60ralrnmpt 6044 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6356, 62bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6455, 63syl6bb 265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6551, 64mtbid 302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
66 rexnal 2874 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6765, 66sylibr 216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
6832adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
69 phnv 26447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
7170ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
7212ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
73 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
7473, 11sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
75 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
766, 9, 75sspba 26358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
7770, 74, 76syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  C_  X )
7978sselda 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
806, 7nvmcl 26260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
8171, 72, 79, 80syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
826, 8nvcl 26280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8371, 81, 82syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8483resqcld 12443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8568, 84letrid 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  \/  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8685ord 379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  -> 
( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8741adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
8847adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
896, 8nvge0 26295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9071, 81, 89syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9187, 83, 88, 90le2sqd 12452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9238adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9392breq1d 4431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9491, 93bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9594notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) ) )
966, 7, 8, 13imsdval 26310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9771, 72, 79, 96syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9897oveq1d 6318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) )
9998breq1d 4431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10086, 95, 993imtr4d 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
101100reximdva 2901 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10267, 101mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
103102ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
104 fvex 5889 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
1059, 104eqeltri 2507 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
106 nnenom 12194 . . . 4  |-  NN  ~~  om
107 oveq2 6311 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( A D y )  =  ( A D ( f `  n ) ) )
108107oveq1d 6318 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 ) )
109108breq1d 4431 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
110105, 106, 109axcc4 8871 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
111103, 110syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
11210adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11311adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
11412adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
115 simprl 763 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  f : NN --> Y )
116 simprr 765 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
117 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
118117oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A D ( f `  n ) )  =  ( A D ( f `  k ) ) )
119118oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 ) )
120 oveq2 6311 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
121120oveq2d 6319 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
122119, 121breq12d 4434 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) ) )
123122rspccva 3182 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A D ( f `  k ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
124116, 123sylan 474 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) )
125 eqid 2423 . . 3  |-  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 26514 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
127111, 126exlimddv 1771 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303  infcinf 7959   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   ^cexp 12273   sqrcsqrt 13290   MetOpencmopn 18953   ~~> tclm 20234   NrmCVeccnv 26195   BaseSetcba 26197   -vcnsb 26200   normCVcnmcv 26201   IndMetcims 26202   SubSpcss 26352   CPreHil OLDccphlo 26445   CBanccbn 26496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cc 8867  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lm 20237  df-haus 20323  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-cfil 22217  df-cau 22218  df-cmet 22219  df-grpo 25911  df-gid 25912  df-ginv 25913  df-gdiv 25914  df-ablo 26002  df-vc 26157  df-nv 26203  df-va 26206  df-ba 26207  df-sm 26208  df-0v 26209  df-vs 26210  df-nmcv 26211  df-ims 26212  df-ssp 26353  df-ph 26446  df-cbn 26497
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