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Theorem minvecolem5 24304
Description: Lemma for minveco 24307. Discharge the assumption about the sequence  F by applying countable choice ax-cc 8625. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables  n  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  n
) )
21adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  n
) )
3 nnrecre 10379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  =  ( -v `  U
)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  ( IndMet `  U )
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 24297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w
) )
1817simp1d 1000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  C_  RR )
1917simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  =/=  (/) )
20 0re 9407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2117simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
22 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
2322ralbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2423rspcev 3094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2520, 21, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
26 infmrcl 10330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
285, 27syl5eqel 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
2928resqcld 12055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
304, 29ltaddposd 9944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  /  n )  <->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
312, 30mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3229, 4readdcld 9434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3328sqge0d 12056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( S ^ 2 ) )
3429, 4, 33, 2addgegt0d 9934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3532, 34elrpd 11046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
3635rpge0d 11052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
37 resqrth 12766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
3832, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3931, 38breqtrrd 4339 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) )
4035rpsqrcld 12919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
4140rpred 11048 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
42 0red 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
43 infmrgelb 10331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
)
4521, 44mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
4645, 5syl6breqr 4353 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  S )
4732, 36sqrge0d 12928 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
4939, 48mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  < 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
5028, 41ltnled 9542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S
) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  S )
525breq2i 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
53 infmrgelb 10331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w ) )
5552, 54syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5615raleqi 2942 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w )
57 fvex 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
5857rgenw 2804 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
60 breq2 4317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6159, 60ralrnmpt 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6356, 62bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6455, 63syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6551, 64mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
66 rexnal 2747 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
6832adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
69 phnv 24236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
7010, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
7212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
73 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
7473, 11sseldi 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
75 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
766, 9, 75sspba 24147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
7770, 74, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  C_  X )
7978sselda 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
806, 7nvmcl 24049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
8171, 72, 79, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
826, 8nvcl 24069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8371, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8483resqcld 12055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8568, 84letrid 9545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  \/  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8685ord 377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  -> 
( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8741adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
8847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
896, 8nvge0 24084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9071, 81, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9187, 83, 88, 90le2sqd 12064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9238adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9392breq1d 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9491, 93bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9594notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) ) )
966, 7, 8, 13imsdval 24099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9771, 72, 79, 96syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9897oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) )
9998breq1d 4323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10086, 95, 993imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
101100reximdva 2849 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10267, 101mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
103102ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
104 fvex 5722 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
1059, 104eqeltri 2513 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
106 nnenom 11823 . . . 4  |-  NN  ~~  om
107 oveq2 6120 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( A D y )  =  ( A D ( f `  n ) ) )
108107oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 ) )
109108breq1d 4323 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
110105, 106, 109axcc4 8629 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
111103, 110syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
11210adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11311adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
11412adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
115 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  f : NN --> Y )
116 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
117 fveq2 5712 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
118117oveq2d 6128 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A D ( f `  n ) )  =  ( A D ( f `  k ) ) )
119118oveq1d 6127 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 ) )
120 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
121120oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
122119, 121breq12d 4326 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) ) )
123122rspccva 3093 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A D ( f `  k ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
124116, 123sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) )
125 eqid 2443 . . 3  |-  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 24303 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
127111, 126exlimddv 1692 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   ran crn 4862   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743   MetOpencmopn 17828   ~~> tclm 18852   NrmCVeccnv 23984   BaseSetcba 23986   -vcnsb 23989   normCVcnmcv 23990   IndMetcims 23991   SubSpcss 24141   CPreHil OLDccphlo 24234   CBanccbn 24285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lm 18855  df-haus 18941  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286
This theorem is referenced by:  minvecolem7  24306
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