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Theorem minvecolem5 25995
Description: Lemma for minveco 25998. Discharge the assumption about the sequence  F by applying countable choice ax-cc 8806. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
minveco.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
minvecolem5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, R    x, S, y    x, A, y    x, D, y    x, U, y   
x, W, y    x, X    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem5
Dummy variables  n  k  w  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnrecgt0 10569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  n
) )
21adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  n
) )
3 nnrecre 10568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
43adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
5 minveco.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
6 minveco.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
7 minveco.m . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M  =  ( -v `  U
)
8 minveco.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 minveco.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
10 minveco.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11 minveco.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
12 minveco.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
13 minveco.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  ( IndMet `  U )
14 minveco.j . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 minveco.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
166, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15minvecolem1 25988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
1716adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( R 
C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w
) )
1817simp1d 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  C_  RR )
1917simp2d 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  R  =/=  (/) )
20 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
2117simp3d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A. w  e.  R  0  <_  w )
22 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  0  ->  (
x  <_  w  <->  0  <_  w ) )
2322ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  0  ->  ( A. w  e.  R  x  <_  w  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
2423rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. w  e.  R  0  <_  w )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )
2520, 21, 24sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)
26 infmrcl 10517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w
)  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
2718, 19, 25, 26syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
285, 27syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  e.  RR )
2928resqcld 12318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  e.  RR )
304, 29ltaddposd 10132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  /  n )  <->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
312, 30mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3229, 4readdcld 9612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3328sqge0d 12319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( S ^ 2 ) )
3429, 4, 33, 2addgegt0d 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  < 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3532, 34elrpd 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR+ )
3635rpge0d 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
37 resqrtth 13171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  -> 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
3832, 36, 37syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
3931, 38breqtrrd 4465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S ^ 2 )  < 
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) )
4035rpsqrtcld 13325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR+ )
4140rpred 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )
42 0red 9586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  e.  RR )
43 infmrgelb 10518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  0  e.  RR )  ->  (
0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
4418, 19, 25, 42, 43syl31anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
)
4521, 44mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
4645, 5syl6breqr 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  S )
4732, 36sqrtge0d 13334 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
4828, 41, 46, 47lt2sqd 12326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  ( S ^
2 )  <  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 ) ) )
4939, 48mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  S  < 
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
5028, 41ltnled 9721 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  <  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <->  -.  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S
) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  S )
525breq2i 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  ) )
53 infmrgelb 10518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  R  x  <_  w )  /\  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5418, 19, 25, 41, 53syl31anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w ) )
5552, 54syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w
) )
5615raleqi 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w )
57 fvex 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
5857rgenw 2815 . . . . . . . . . 10  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
59 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
60 breq2 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<->  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6159, 60ralrnmpt 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6258, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  w  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6356, 62bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  R  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6455, 63syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  S  <->  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
6551, 64mtbid 298 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
66 rexnal 2902 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  A. y  e.  Y  ( sqr `  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
6765, 66sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  <_ 
( N `  ( A M y ) ) )
6832adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
69 phnv 25927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
7010, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
7212ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
73 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan )  C_  ( SubSp `  U )
7473, 11sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
75 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
766, 9, 75sspba 25838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
7770, 74, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
7877adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  Y  C_  X )
7978sselda 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
806, 7nvmcl 25740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
8171, 72, 79, 80syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
826, 8nvcl 25760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8371, 81, 82syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
8483resqcld 12318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8568, 84letrid 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  \/  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8685ord 375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  -> 
( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
8741adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )  e.  RR )
8847adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
896, 8nvge0 25775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9071, 81, 89syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
9187, 83, 88, 90le2sqd 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) ^
2 )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9238adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
9392breq1d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) ^ 2 )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9491, 93bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <_  (
( N `  ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
9594notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  <->  -.  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  <_  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) ) )
966, 7, 8, 13imsdval 25790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9771, 72, 79, 96syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A D y )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
9897oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A M y ) ) ^
2 ) )
9998breq1d 4449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( N `  ( A M y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10086, 95, 993imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  Y )  ->  ( -.  ( sqr `  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
101100reximdva 2929 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  e.  Y  -.  ( sqr `  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )  <_  ( N `  ( A M y ) )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
10267, 101mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) )
103102ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
104 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
1059, 104eqeltri 2538 . . . 4  |-  Y  e. 
_V
106 nnenom 12072 . . . 4  |-  NN  ~~  om
107 oveq2 6278 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( A D y )  =  ( A D ( f `  n ) ) )
108107oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( A D y ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 ) )
109108breq1d 4449 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  (
( ( A D y ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  n ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) ) ) )
110105, 106, 109axcc4 8810 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  E. y  e.  Y  ( ( A D y ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
111103, 110syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )
11210adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  U  e.  CPreHil OLD )
11311adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) )
11412adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A  e.  X
)
115 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  f : NN --> Y )
116 simprr 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) )
117 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
f `  n )  =  ( f `  k ) )
118117oveq2d 6286 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A D ( f `  n ) )  =  ( A D ( f `  k ) ) )
119118oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  =  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 ) )
120 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
121120oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
122119, 121breq12d 4452 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  <->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) ) )
123122rspccva 3206 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( A D ( f `  n
) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( A D ( f `  k ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k
) ) )
124116, 123sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( f `  k ) ) ^
2 )  <_  (
( S ^ 2 )  +  ( 1  /  k ) ) )
125 eqid 2454 . . 3  |-  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t `  J ) `  f
) )  +  S
)  /  2 ) ^ 2 )  -  ( S ^ 2 ) ) )
1266, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125minvecolem4 25994 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : NN --> Y  /\  A. n  e.  NN  (
( A D ( f `  n ) ) ^ 2 )  <_  ( ( S ^ 2 )  +  ( 1  /  n
) ) ) )  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
127111, 126exlimddv 1731 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   MetOpencmopn 18603   ~~> tclm 19894   NrmCVeccnv 25675   BaseSetcba 25677   -vcnsb 25680   normCVcnmcv 25681   IndMetcims 25682   SubSpcss 25832   CPreHil OLDccphlo 25925   CBanccbn 25976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lm 19897  df-haus 19983  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-cfil 21860  df-cau 21861  df-cmet 21862  df-grpo 25391  df-gid 25392  df-ginv 25393  df-gdiv 25394  df-ablo 25482  df-vc 25637  df-nv 25683  df-va 25686  df-ba 25687  df-sm 25688  df-0v 25689  df-vs 25690  df-nmcv 25691  df-ims 25692  df-ssp 25833  df-ph 25926  df-cbn 25977
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