MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvge0 26912
Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 nvge0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvge0.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvcl 26900 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4 2re 10967 . . 3 2 ∈ ℝ
53, 4jctil 558 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℝ))
6 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
76, 2nvz0 26907 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
9 1pneg1e0 11006 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
109oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)
11 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 11, 6nv0 26876 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (0vec𝑈))
1310, 12syl5req 2657 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0vec𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
14 neg1cn 11001 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
15 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
171, 16, 11nvdir 26870 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1413 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
1914, 18mpanr1 715 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
201, 11nvsid 26866 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2648 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0vec𝑈) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
2322fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2646 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
251, 11nvscl 26865 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1404 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
271, 16, 2nvtri 26909 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1417 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 4605 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
301, 11, 2nvm1 26904 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁𝐴))
3130oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐴)))
323recnd 9947 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
33322timesd 11152 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (2 · (𝑁𝐴)) = ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐴)))
3431, 33eqtr4d 2647 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁𝐴)))
3529, 34breqtrd 4609 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴)))
36 2pos 10989 . . 3 0 < 2
3735, 36jctil 558 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴))))
38 prodge0 10749 . 2 (((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴)))) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
395, 37, 38syl2anc 691 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  -cneg 10146  2c2 10947  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  0veccn0v 26827  normCVcnmcv 26829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839
This theorem is referenced by:  nvgt0  26913  smcnlem  26936  ipnm  26950  nmooge0  27006  nmoub3i  27012  siilem1  27090  siii  27092  ubthlem3  27112  minvecolem1  27114  minvecolem5  27121  minvecolem6  27122  htthlem  27158
  Copyright terms: Public domain W3C validator