Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem1 27114
 Description: Lemma for minveco 27124. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝐽   𝑤,𝑀,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐷,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑊,𝑦   𝑤,𝑋   𝑤,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2 minveco.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
3 phnv 27053 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
6 minveco.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
9 elin 3758 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
108, 9sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
1110simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
12 minveco.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 minveco.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
14 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
1512, 13, 14sspba 26966 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
164, 11, 15syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1716sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
18 minveco.m . . . . . . . 8 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
1912, 18nvmcl 26885 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
205, 7, 17, 19syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋)
21 minveco.n . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
2212, 21nvcl 26900 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
235, 20, 22syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ ℝ)
24 eqid 2610 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
2523, 24fmptd 6292 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ)
26 frn 5966 . . . 4 ((𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))):𝑌⟶ℝ → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ⊆ ℝ)
281, 27syl5eqss 3612 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2910simprd 478 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CBan)
30 bnnv 27106 . . . . . 6 (𝑊 ∈ CBan → 𝑊 ∈ NrmCVec)
31 eqid 2610 . . . . . . 7 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
3213, 31nvzcl 26873 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmCVec → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
3329, 30, 323syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ 𝑌)
34 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
3534, 24dmmpti 5936 . . . . 5 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = 𝑌
3633, 35syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝜑 → (0vec𝑊) ∈ dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
37 ne0i 3880 . . . 4 ((0vec𝑊) ∈ dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) → dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝜑 → dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅)
39 dm0rn0 5263 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
401eqeq1i 2615 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅)
4139, 40bitr4i 266 . . . 4 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) = ∅ ↔ 𝑅 = ∅)
4241necon3bii 2834 . . 3 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))) ≠ ∅ ↔ 𝑅 ≠ ∅)
4338, 42sylib 207 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
4412, 21nvge0 26912 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑀𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
455, 20, 44syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4645ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
4734rgenw 2908 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V
48 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
4924, 48ralrnmpt 6276 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦))))
5047, 49ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
5146, 50sylibr 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
521raleqi 3119 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))0 ≤ 𝑤)
5351, 52sylibr 223 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
5428, 43, 533jca 1235 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  MetOpencmopn 19557  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  0veccn0v 26827   −𝑣 cnsb 26828  normCVcnmcv 26829  IndMetcims 26830  SubSpcss 26960  CPreHilOLDccphlo 27051  CBanccbn 27102 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103 This theorem is referenced by:  minvecolem2  27115  minvecolem3  27116  minvecolem4c  27119  minvecolem4  27120  minvecolem5  27121  minvecolem6  27122
 Copyright terms: Public domain W3C validator