MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveco 27124
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace 𝑊 that minimizes the distance to an arbitrary vector 𝐴 in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
minveco (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 minveco.m . 2 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
3 minveco.n . 2 𝑁 = (normCV𝑈)
4 minveco.y . 2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
5 minveco.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
6 minveco.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
7 minveco.a . 2 (𝜑𝐴𝑋)
8 eqid 2610 . 2 (IndMet‘𝑈) = (IndMet‘𝑈)
9 eqid 2610 . 2 (MetOpen‘(IndMet‘𝑈)) = (MetOpen‘(IndMet‘𝑈))
10 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑗 = 𝑦 → (𝐴𝑀𝑗) = (𝐴𝑀𝑦))
1110fveq2d 6107 . . . 4 (𝑗 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗)) = (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1211cbvmptv 4678 . . 3 (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
1312rneqi 5273 . 2 ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))) = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
14 eqid 2610 . 2 inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑗𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑗))), ℝ, < )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 27123 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴𝑀𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  ∃!wreu 2898  cin 3539   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cr 9814   < clt 9953  cle 9954  MetOpencmopn 19557  BaseSetcba 26825  𝑣 cnsb 26828  normCVcnmcv 26829  IndMetcims 26830  SubSpcss 26960  CPreHilOLDccphlo 27051  CBanccbn 27102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  27635
  Copyright terms: Public domain W3C validator