MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem1 Structured version   Unicode version

Theorem minvecolem1 24280
Description: Lemma for minveco 24290. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w, J    w, M, y    w, N, y    ph, w, y   
w, R    w, A, y    w, D, y    w, U, y    w, W, y   
w, X    w, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
3 phnv 24219 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 minveco.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 elin 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
1110simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
12 minveco.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 minveco.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1512, 13, 14sspba 24130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
164, 11, 15syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1716sselda 3361 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
18 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
1912, 18nvmcl 24032 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
205, 7, 17, 19syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
21 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
2212, 21nvcl 24052 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
235, 20, 22syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
24 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2523, 24fmptd 5872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR )
26 frn 5570 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
281, 27syl5eqss 3405 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2910simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
30 bnnv 24272 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CBan  ->  W  e.  NrmCVec )
31 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
3213, 31nvzcl 24019 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
3329, 30, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
34 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
3534, 24dmmpti 5545 . . . . 5  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  Y
3633, 35syl6eleqr 2534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
37 ne0i 3648 . . . 4  |-  ( (
0vec `  W )  e.  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
39 dm0rn0 5061 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  (/) )
401eqeq1i 2450 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/) )
4139, 40bitr4i 252 . . . 4  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  R  =  (/) )
4241necon3bii 2645 . . 3  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/)  <->  R  =/=  (/) )
4338, 42sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
4412, 21nvge0 24067 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
455, 20, 44syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4645ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4734rgenw 2788 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
48 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
4924, 48ralrnmpt 5857 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
5047, 49ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
5146, 50sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
521raleqi 2926 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
5351, 52sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
5428, 43, 533jca 1168 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287    <_ cle 9424   MetOpencmopn 17811   NrmCVeccnv 23967   BaseSetcba 23969   0veccn0v 23971   -vcnsb 23972   normCVcnmcv 23973   IndMetcims 23974   SubSpcss 24124   CPreHil OLDccphlo 24217   CBanccbn 24268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ssp 24125  df-ph 24218  df-cbn 24269
This theorem is referenced by:  minvecolem2  24281  minvecolem3  24282  minvecolem4c  24285  minvecolem4  24286  minvecolem5  24287  minvecolem6  24288
  Copyright terms: Public domain W3C validator