Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nvge0 26303
 Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1
nvge0.6 CV
Assertion
Ref Expression
nvge0

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 nvge0.1 . . . 4
2 nvge0.6 . . . 4 CV
31, 2nvcl 26288 . . 3
4 2re 10679 . . 3
53, 4jctil 540 . 2
6 eqid 2451 . . . . . . . 8
76, 2nvz0 26297 . . . . . . 7
87adantr 467 . . . . . 6
9 1pneg1e0 10718 . . . . . . . . . 10
109oveq1i 6300 . . . . . . . . 9
11 eqid 2451 . . . . . . . . . 10
121, 11, 6nv0 26258 . . . . . . . . 9
1310, 12syl5req 2498 . . . . . . . 8
14 neg1cn 10713 . . . . . . . . 9
15 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10
16 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11
171, 16, 11nvdir 26252 . . . . . . . . . 10
1815, 17mp3anr1 1361 . . . . . . . . 9
1914, 18mpanr1 689 . . . . . . . 8
201, 11nvsid 26248 . . . . . . . . 9
2120oveq1d 6305 . . . . . . . 8
2213, 19, 213eqtrd 2489 . . . . . . 7
2322fveq2d 5869 . . . . . 6
248, 23eqtr3d 2487 . . . . 5
251, 11nvscl 26247 . . . . . . 7
2614, 25mp3an2 1352 . . . . . 6
271, 16, 2nvtri 26299 . . . . . 6
2826, 27mpd3an3 1365 . . . . 5
2924, 28eqbrtrd 4423 . . . 4
301, 11, 2nvm1 26293 . . . . . 6
3130oveq2d 6306 . . . . 5
323recnd 9669 . . . . . 6
33322timesd 10855 . . . . 5
3431, 33eqtr4d 2488 . . . 4
3529, 34breqtrd 4427 . . 3
36 2pos 10701 . . 3
3735, 36jctil 540 . 2
38 prodge0 10452 . 2
395, 37, 38syl2anc 667 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887   class class class wbr 4402  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   clt 9675   cle 9676  cneg 9861  c2 10659  cnv 26203  cpv 26204  cba 26205  cns 26206  cn0v 26207  CVcnmcv 26209 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-grpo 25919  df-gid 25920  df-ginv 25921  df-ablo 26010  df-vc 26165  df-nv 26211  df-va 26214  df-ba 26215  df-sm 26216  df-0v 26217  df-nmcv 26219 This theorem is referenced by:  nvgt0  26304  smcnlem  26333  ipnm  26350  nmooge0  26408  nmoub3i  26414  siilem1  26492  siii  26494  ubthlem3  26514  minvecolem1  26516  minvecolem5  26523  minvecolem6  26524  minvecolem5OLD  26533  minvecolem6OLD  26534  htthlem  26570
 Copyright terms: Public domain W3C validator