MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0d 11752
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpge0 11721 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  0cc0 9815  cle 9954  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  rprege0d  11755  sqrlem5  13835  isumrpcl  14414  isumltss  14419  harmonic  14430  expcnv  14435  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  4sqlem7  15486  nmoi2  22344  reperflem  22429  lebnumii  22573  nmoleub2lem3  22723  nmoleub3  22727  lmnn  22869  minveclem3  23008  pjthlem1  23016  ovoliunlem1  23077  vitalilem4  23186  vitali  23188  itg2const2  23314  itggt0  23414  lhop1lem  23580  plyeq0lem  23770  aalioulem4  23894  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem3  23903  pserdvlem2  23986  abelthlem7  23996  pilem2  24010  pilem3  24011  divlogrlim  24181  logtayllem  24205  cxpge0  24229  divcxp  24233  cxpsqrtlem  24248  cxpsqrt  24249  abscxpbnd  24294  asinlem3  24398  leibpi  24469  birthdaylem3  24480  rlimcnp3  24494  cxplim  24498  rlimcxp  24500  cxp2limlem  24502  cxp2lim  24503  jensenlem2  24514  amgmlem  24516  emcllem2  24523  emcllem4  24525  emcllem6  24527  fsumharmonic  24538  zetacvg  24541  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  regamcl  24587  ftalem3  24601  ftalem5  24603  basellem6  24612  basellem8  24614  chtge0  24638  chtwordi  24682  chpval2  24743  chpchtsum  24744  chpub  24745  bposlem1  24809  bposlem2  24810  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  bposlem7  24815  bposlem9  24817  lgsquadlem2  24906  chtppilimlem1  24962  chtppilimlem2  24963  chtppilim  24964  chpchtlim  24968  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  dchrisum0lem1a  24975  rpvmasumlem  24976  dchrisumlema  24977  2vmadivsumlem  25029  logdivbnd  25045  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg4lem1  25049  pntrsumbnd2  25056  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6a  25071  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntibndlem2  25080  pntlemg  25087  pntlemk  25095  pntlem3  25098  pntleml  25100  ostth2lem1  25107  padicabv  25119  ostth2lem3  25124  ostth3  25127  ubthlem2  27111  minvecolem3  27116  minvecolem5  27121  pjhthlem1  27634  sqsscirc1  29282  omssubaddlem  29688  knoppndvlem18  31690  taupilemrplb  32343  poimirlem29  32608  itggt0cn  32652  geomcau  32725  cntotbnd  32765  rrndstprj2  32800  irrapxlem5  36408  pell1qrgaplem  36455  pell14qrgapw  36458  pellqrex  36461  rpexpmord  36531  rmxypos  36532  binomcxplemnotnn0  37577  recnnltrp  38534  rpgtrecnn  38538  stoweidlem3  38896  stoweidlem26  38919  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  stirlinglem1  38967  stirlinglem4  38970  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem12  38978  fourierdlem39  39039  fourierdlem42  39042  fourierdlem87  39086  fourierdlem107  39106  rrndistlt  39186  sge0rpcpnf  39314  ovnsubaddlem1  39460  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem4  39488  ovolval5lem1  39542  vonioolem1  39571
  Copyright terms: Public domain W3C validator