MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Unicode version

Theorem rpge0d 10608
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpge0 10580 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   0cc0 8946    <_ cle 9077   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  rprege0d  10611  sqrlem5  12007  isumrpcl  12578  isumltss  12583  harmonic  12593  expcnv  12598  prmreclem5  13243  prmreclem6  13244  4sqlem7  13267  nmoi2  18717  reperflem  18802  lebnumii  18944  nmoleub2lem3  19076  nmoleub3  19080  lmnn  19169  minveclem3  19283  pjthlem1  19291  ovoliunlem1  19351  vitalilem4  19456  vitali  19458  itg2const2  19586  itggt0  19686  lhop1lem  19850  plyeq0lem  20082  aalioulem4  20205  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem3  20214  pserdvlem2  20297  abelthlem7  20307  pilem2  20321  pilem3  20322  divlogrlim  20479  logtayllem  20503  cxpge0  20527  divcxp  20531  cxpsqrlem  20546  cxpsqr  20547  abscxpbnd  20590  asinlem3  20664  leibpi  20735  birthdaylem3  20745  rlimcnp3  20759  cxplim  20763  rlimcxp  20765  cxp2limlem  20767  cxp2lim  20768  jensenlem2  20779  amgmlem  20781  emcllem2  20788  emcllem4  20790  emcllem6  20792  fsumharmonic  20803  ftalem3  20810  ftalem5  20812  basellem6  20821  basellem8  20823  chtge0  20848  chtwordi  20892  chpval2  20955  chpchtsum  20956  chpub  20957  bposlem1  21021  bposlem2  21022  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  bposlem7  21027  bposlem9  21029  lgsquadlem2  21092  chtppilimlem1  21120  chtppilimlem2  21121  chtppilim  21122  chpchtlim  21126  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  dchrisum0lem1a  21133  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  2vmadivsumlem  21187  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg4lem1  21207  pntrsumbnd2  21214  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6a  21229  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntibndlem2  21238  pntlemg  21245  pntlemk  21253  pntlem3  21256  pntleml  21258  ostth2lem1  21265  padicabv  21277  ostth2lem3  21282  ostth3  21285  ubthlem2  22326  minvecolem3  22331  minvecolem5  22336  pjhthlem1  22846  sqsscirc1  24259  zetacvg  24752  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgamcvg2  24792  regamcl  24798  itggt0cn  26176  geomcau  26355  cntotbnd  26395  rrndstprj2  26430  irrapxlem5  26779  pell1qrgaplem  26826  pell14qrgapw  26829  pellqrex  26832  rpexpmord  26901  rmxypos  26902  stoweidlem3  27619  stoweidlem26  27642  wallispilem4  27684  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  stirlinglem1  27690  stirlinglem4  27693  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator