MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Unicode version

Theorem rpge0d 11249
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rpge0d  |-  ( ph  ->  0  <_  A )

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 rpge0 11221 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440   0cc0 9481    <_ cle 9618   RR+crp 11209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-rp 11210
This theorem is referenced by:  rprege0d  11252  sqrlem5  13030  isumrpcl  13607  isumltss  13612  harmonic  13622  expcnv  13627  prmreclem5  14286  prmreclem6  14287  4sqlem7  14310  nmoi2  20965  reperflem  21051  lebnumii  21194  nmoleub2lem3  21326  nmoleub3  21330  lmnn  21430  minveclem3  21572  pjthlem1  21580  ovoliunlem1  21641  vitalilem4  21748  vitali  21750  itg2const2  21876  itggt0  21976  lhop1lem  22142  plyeq0lem  22335  aalioulem4  22458  aaliou3lem2  22466  aaliou3lem3  22467  pserdvlem2  22550  abelthlem7  22560  pilem2  22574  pilem3  22575  divlogrlim  22737  logtayllem  22761  cxpge0  22785  divcxp  22789  cxpsqrlem  22804  cxpsqr  22805  abscxpbnd  22848  asinlem3  22923  leibpi  22994  birthdaylem3  23004  rlimcnp3  23018  cxplim  23022  rlimcxp  23024  cxp2limlem  23026  cxp2lim  23027  jensenlem2  23038  amgmlem  23040  emcllem2  23047  emcllem4  23049  emcllem6  23051  fsumharmonic  23062  ftalem3  23069  ftalem5  23071  basellem6  23080  basellem8  23082  chtge0  23107  chtwordi  23151  chpval2  23214  chpchtsum  23215  chpub  23216  bposlem1  23280  bposlem2  23281  bposlem4  23283  bposlem5  23284  bposlem6  23285  bposlem7  23286  bposlem9  23288  lgsquadlem2  23351  chtppilimlem1  23379  chtppilimlem2  23380  chtppilim  23381  chpchtlim  23385  rplogsumlem1  23390  rplogsumlem2  23391  dchrisum0lem1a  23392  rpvmasumlem  23393  dchrisumlema  23394  2vmadivsumlem  23446  logdivbnd  23462  selberg3lem1  23463  selberg3lem2  23464  selberg4lem1  23466  pntrsumbnd2  23473  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntrlog2bndlem6a  23488  pntrlog2bndlem6  23489  pntrlog2bnd  23490  pntibndlem2  23497  pntlemg  23504  pntlemk  23512  pntlem3  23515  pntleml  23517  ostth2lem1  23524  padicabv  23536  ostth2lem3  23541  ostth3  23544  ubthlem2  25313  minvecolem3  25318  minvecolem5  25323  pjhthlem1  25835  sqsscirc1  27376  zetacvg  28047  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamgulmlem5  28065  lgamcvg2  28087  regamcl  28093  itggt0cn  29515  geomcau  29706  cntotbnd  29746  rrndstprj2  29781  irrapxlem5  30217  pell1qrgaplem  30264  pell14qrgapw  30267  pellqrex  30270  rpexpmord  30339  rmxypos  30340  stoweidlem3  31122  stoweidlem26  31145  wallispilem4  31187  wallispi  31189  wallispi2lem1  31190  stirlinglem1  31193  stirlinglem4  31196  stirlinglem10  31202  stirlinglem11  31203  stirlinglem12  31204  fourierdlem42  31268  fourierdlem87  31313  fourierdlem107  31333  taupilemrplb  36641
  Copyright terms: Public domain W3C validator