Theorem rpge0 11721

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11715	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 11720	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 9919	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10005	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 63	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rprege0  11723  rpge0d  11752  xralrple  11910  xlemul1  11992  infmrp1  12045  sqrlem1  13831  rpsqrtcl  13853  divrcnv  14423  ef01bndlem  14753  stdbdmet  22131  reconnlem2  22438  cphsqrtcl3  22795  iscmet3lem3  22896  minveclem3  23008  itg2const2  23314  itg2mulclem  23319  aalioulem2  23892  pige3  24073  argregt0  24160  argrege0  24161  cxpcn3  24289  cxplim  24498  cxp2lim  24503  divsqrtsumlem  24506  logdiflbnd  24521  basellem4  24610  ppiltx  24703  bposlem8  24816  bposlem9  24817  chebbnd1  24961  mulog2sumlem2  25024  selbergb  25038  selberg2b  25041  nmcexi  28269  nmcopexi  28270  nmcfnexi  28294  sqsscirc1  29282  subfacval3  30425  ptrecube  32579  heicant  32614  itg2addnclem  32631  itg2gt0cn  32635  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  areacirc  32675  cntotbnd  32765  xralrple4  38530  xralrple3  38531  fourierdlem103  39102  blenre  42166