Theorem pjhthlem1 27634

Description: Lemma for pjhth 27636. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjhth.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjhth.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
pjhth.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
pjhth.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
pjhth.6	⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))

Assertion

Ref	Expression
pjhthlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℋ)
2		pjhth.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐻)
3		pjhth.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
4	3	cheli 27473	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ ℋ)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℋ)
6		hvsubcl 27258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
7	1, 5, 6	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
8		pjhth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐻)
9	3	cheli 27473	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐻 → 𝐶 ∈ ℋ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℋ)
11		hicl 27321	. . 3 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 9947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
15	13	resqcld 12897	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
16	15	renegcld 10336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17		hiidrcl 27336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
18	10, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		readdcl 9898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
21	18, 19, 20	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22		0red 9920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23		peano2re 10088	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25		hiidge0 27339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
27	18	ltp1d 10833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
28	22, 18, 24, 26, 27	lelttrd 10074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
29	24	ltp1d 10833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
30	18	recnd 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
31		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		addass 9902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
33	31, 31, 32	mp3an23 1408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
35		df-2 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
36	35	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
37	34, 36	syl6reqr 2663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
38	29, 37	breqtrrd 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
39	22, 24, 21, 28, 38	lttrd 10077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
40	3	chshii 27468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
42		pjhth.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑇 = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
43	24	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
44	18, 26	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
45	44	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
46	12, 43, 45	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
47	42, 46	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
48		shmulcl 27459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝐻) → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
49	41, 47, 8, 48	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻)
50		shaddcl 27458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
51	41, 2, 49, 50	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻)
52		pjhth.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)))
53		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (𝐴 −ℎ 𝑥) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
54	53	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
55	54	breq2d 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) ↔ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
56	55	rspcv 3278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ 𝐻 → (∀𝑥 ∈ 𝐻 (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝑥)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
57	51, 52, 56	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
58	3	cheli 27473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
59	49, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
60		hvsubass 27285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
61	1, 5, 59, 60	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
62	61	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ (𝐵 +ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
63	57, 62	breqtrrd 4611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
64		normcl 27366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
65	7, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℝ)
66		hvsubcl 27258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
67	7, 59, 66	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ)
68		normcl 27366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℝ)
70		normge0 27367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
71	7, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)))
72	22, 65, 69, 71, 63	letrd 10073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
73	65, 69, 71, 72	le2sqd 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
74	63, 73	mpbid 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2))
75	69	resqcld 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
76	65	resqcld 12897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
77	75, 76	subge0d 10496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) ↔ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) ≤ ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2)))
78	74, 77	mpbird 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
79		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
80		rpexpcl 12741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
81	44, 79, 80	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
82	15, 81	rerpdivcld 11779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
83	82, 21	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
84	83	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
85	84	negcld 10258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86		hicl 27321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
87	7, 7, 86	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
88	85, 87	pncand 10272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89		normsq 27375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
90	67, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
91		his2sub 27333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
92	7, 59, 67, 91	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
93		his2sub2 27334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
94	7, 7, 59, 93	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
95	94	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))))
96		hicl 27321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
97	7, 59, 96	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
98		his2sub2 27334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
99	59, 7, 59, 98	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))))
100		hicl 27321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
101	59, 7, 100	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) ∈ ℂ)
102		hicl 27321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
103	59, 59, 102	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℂ)
104	101, 103	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
105	99, 104	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) ∈ ℂ)
106	87, 97, 105	subsub4d 10302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))))
107	82	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
108	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109	107, 43, 108	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
110	37	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111		his5 27327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
112	47, 7, 10, 111	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)))
113	47	cjcld 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114	113, 12	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
115	12	cjcld 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
116	12, 115, 43, 45	divassd 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
117	12	absvalsqd 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))))
118	117	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
119	42	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
120	12, 43, 45	cjdivd 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
121	24	cjred 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122	121	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123	120, 122	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124	119, 123	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125	124	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126	116, 118, 125	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127	112, 114, 126	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
128	15	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129	128, 43	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
130	43	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131	129, 130	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132	128, 43, 43, 45, 45	divcan5d 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133	131, 132	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
134	24	resqcld 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135	134	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
136	81	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137	128, 43, 135, 136	div23d 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138	127, 133, 137	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
139	82, 24	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140	138, 139	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ)
141		hire 27335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
142	7, 59, 141	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
143	140, 142	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
144	143, 138	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145		his35 27329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
146	47, 47, 10, 10, 145	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
147	42	fveq2i 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
148	12, 43, 45	absdivd 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
149	44	rpge0d 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
150	24, 149	absidd 14009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151	150	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152	148, 151	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153	147, 152	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154	153	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
155	47	absvalsqd 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
156	14, 43, 45	sqdivd 12883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157	154, 155, 156	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158	157	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159	146, 158	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160	144, 159	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161		pncan2 10167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
162	30, 31, 161	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163	162	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164	107, 43, 30	subdid 10365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165	163, 164	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166	160, 99, 165	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167	138, 166	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168	109, 110, 167	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169	168	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝑇 ·ℎ 𝐶)) + ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
170	95, 106, 169	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶))) − ((𝑇 ·ℎ 𝐶) ·ih ((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
171	90, 92, 170	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
172	87, 84	negsubd 10277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
173	87, 85	addcomd 10117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
174	171, 172, 173	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
175		normsq 27375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
176	7, 175	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2) = ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵)))
177	174, 176	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))) − ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih (𝐴 −ℎ 𝐵))))
178	21	renegcld 10336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179	178	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180	128, 179, 135, 136	div23d 10717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
181	21	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182	107, 181	mulneg2d 10363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183	180, 182	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
184	88, 177, 183	3eqtr4rd 2655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐵) −ℎ (𝑇 ·ℎ 𝐶)))↑2) − ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵))↑2)))
185	78, 184	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
186	15, 178	remulcld 9949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187	186, 81	ge0divd 11786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188	185, 187	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189		mulneg12 10347	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190	128, 181, 189	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191	188, 190	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
192		prodge02 10750	. . . . . 6 ⊢ (((-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∧ 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))) → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
193	16, 21, 39, 191, 192	syl22anc 1319	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
194	15	le0neg1d 10478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
195	193, 194	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
196	13	sqge0d 12898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
197		0re 9919	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
198		letri3 10002	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
199	15, 197, 198	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
200	195, 196, 199	mpbir2and 959	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
201	14, 200	sqeq0d 12869	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
202	12, 201	abs00d 14033	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ↑cexp 12722  ∗ccj 13684  abscabs 13822   ℋchil 27160   +_ℎ cva 27161   ·_ℎ csm 27162   ·_ih csp 27163  norm_ℎcno 27164   −_ℎ cmv 27166   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246  ax-hvdistr1 27249  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212  df-sh 27448  df-ch 27462

This theorem is referenced by:  pjhthlem2  27635