Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpexpmord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpexpmord 36531
 Description: Mantissa ordering relationship for exponentiation of positive reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpexpmord ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem rpexpmord
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝑁) = (𝑏𝑁))
2 oveq1 6556 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎𝑁) = (𝐴𝑁))
3 oveq1 6556 . . 3 (𝑎 = 𝐵 → (𝑎𝑁) = (𝐵𝑁))
4 rpssre 11719 . . 3 + ⊆ ℝ
5 rpre 11715 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
6 nnnn0 11176 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 reexpcl 12739 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2anr 494 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑎𝑁) ∈ ℝ)
9 simplrl 796 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ+)
109rpred 11748 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℝ)
11 simplrr 797 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ+)
1211rpred 11748 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℝ)
139rpge0d 11752 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 0 ≤ 𝑎)
14 simpr 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
15 simpll 786 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 expmordi 36530 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝑎𝑎 < 𝑏) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1710, 12, 13, 14, 15, 16syl221anc 1329 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁))
1817ex 449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎 < 𝑏 → (𝑎𝑁) < (𝑏𝑁)))
191, 2, 3, 4, 8, 18ltord1 10433 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
20193impb 1252 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴𝑁) < (𝐵𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℝ+crp 11708  ↑cexp 12722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723 This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  36602
 Copyright terms: Public domain W3C validator