wallispilem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispilem4 38961

Description: 𝐹 maps to explicit expression for the ratio of two consecutive values of 𝐼. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
wallispilem4.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
wallispilem4.2	⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑧)↑𝑛) d𝑧)
wallispilem4.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
wallispilem4.4	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))

**Assertion**
Ref	Expression
wallispilem4	⊢ 𝐺 = 𝐻

Distinct variable groups: 𝑧,𝑛 𝑧,𝐹 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑘,𝑛) 𝐺(𝑧,𝑘,𝑛) 𝐻(𝑧,𝑘,𝑛) 𝐼(𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem wallispilem4 Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (2 · 𝑥) = (2 · 1))
2	1	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 1)))
3	1	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 1) + 1))
4	3	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 1) + 1)))
5	2, 4	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))))
6		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘1))
7	6	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
8	7	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1))))
9	5, 8	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))))
10		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
11	10	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 𝑦)))
12	10	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
13	12	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))
14	11, 13	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))))
15		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))
16	15	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))
17	16	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))))
18	14, 17	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
19		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑥) = (2 · (𝑦 + 1)))
20	19	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))))
21	19	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))
22	21	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))
23	20, 22	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
24		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))
25	24	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))
26	25	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))))
27	23, 26	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))))
28		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑛))
29	28	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐼‘(2 · 𝑥)) = (𝐼‘(2 · 𝑛)))
30	28	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
31	30	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))
32	29, 31	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
33		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑥) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))
34	33	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥)) = (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))
35	34	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
36	32, 35	eqeq12d 2625	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (((𝐼‘(2 · 𝑥)) / (𝐼‘((2 · 𝑥) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑥))) ↔ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛)))))
37		2t1e2 11053	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
38	37	fveq2i 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘(2 · 1)) = (𝐼‘2)
39	37	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
40		2p1e3 11028	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + 1) = 3
41	39, 40	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
42	41	fveq2i 6106	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘((2 · 1) + 1)) = (𝐼‘3)
43	38, 42	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((𝐼‘2) / (𝐼‘3))
44		2z 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
45		uzid 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
47		wallispilem4.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑧)↑𝑛) d𝑧)
48	47	wallispilem2 38959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (2 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2)))))
49	48	simp3i 1065	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2))))
50	46, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘2) = (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2)))
51		2m1e1 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − 1) = 1
52	51	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 − 1) / 2) = (1 / 2)
53		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
54	53	subidi 10231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 2) = 0
55	54	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘(2 − 2)) = (𝐼‘0)
56	48	simp1i 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘0) = π
57	55, 56	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘(2 − 2)) = π
58	52, 57	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ (((2 − 1) / 2) · (𝐼‘(2 − 2))) = ((1 / 2) · π)
59		ax-1cn 9873	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
60		2cnne0 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61		picn 24015	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
62		div32 10584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ π ∈ ℂ) → ((1 / 2) · π) = (1 · (π / 2)))
63	59, 60, 61, 62	mp3an 1416	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) · π) = (1 · (π / 2))
64		2ne0 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
65	61, 53, 64	divcli 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
66	65	mulid2i 9922	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (π / 2)) = (π / 2)
67	63, 66	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 2) · π) = (π / 2)
68	50, 58, 67	3eqtri 2636	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘2) = (π / 2)
69		3z 11287	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
70		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
71		3re 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
72		2lt3 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 3
73	70, 71, 72	ltleii 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≤ 3
74		eluz2 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
75	44, 69, 73, 74	mpbir3an 1237	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (ℤ_≥‘2)
76	47	wallispilem2 38959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼‘0) = π ∧ (𝐼‘1) = 2 ∧ (3 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))))
77	76	simp3i 1065	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2))))
78	75, 77	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼‘3) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))
79		3m1e2 11014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 1) = 2
80	79	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (3 − 1)
81	80	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / 3) = ((3 − 1) / 3)
82		3cn 10972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
83	82, 53, 59, 40	subaddrii 10249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 − 2) = 1
84	83	fveq2i 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘(3 − 2)) = (𝐼‘1)
85	48	simp2i 1064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼‘1) = 2
86	84, 85	eqtr2i 2633	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (𝐼‘(3 − 2))
87	81, 86	oveq12i 6561	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / 3) · 2) = (((3 − 1) / 3) · (𝐼‘(3 − 2)))
88		3ne0 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
89	53, 82, 88	divcli 10646	. . . . . . . 8 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
90	89, 53	mulcomi 9925	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / 3) · 2) = (2 · (2 / 3))
91	78, 87, 90	3eqtr2i 2638	. . . . . 6 ⊢ (𝐼‘3) = (2 · (2 / 3))
92	68, 91	oveq12i 6561	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘2) / (𝐼‘3)) = ((π / 2) / (2 · (2 / 3)))
93		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
94		seq1 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
96		1nn 10908	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
97		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = (2 · 1))
98	97, 37	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → (2 · 𝑘) = 2)
99	97	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 1) − 1))
100	37	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
101	100, 51	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
102	99, 101	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) − 1) = 1)
103	98, 102	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (2 / 1))
104	53	div1i 10632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
105	103, 104	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = 2)
106	98	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) + 1) = (2 + 1))
107	106, 40	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) + 1) = 3)
108	98, 107	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = (2 / 3))
109	105, 108	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (2 · (2 / 3)))
110		wallispilem4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))))
111		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 / 3)) ∈ V
112	109, 110, 111	fvmpt 6191	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ → (𝐹‘1) = (2 · (2 / 3)))
113	96, 112	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘1) = (2 · (2 / 3))
114	95, 113	eqtr2i 2633	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (2 / 3)) = (seq1( · , 𝐹)‘1)
115	114	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) / (2 · (2 / 3))) = ((π / 2) / (seq1( · , 𝐹)‘1))
116	53, 89	mulcli 9924	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · (2 / 3)) ∈ ℂ
117	113, 116	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘1) ∈ ℂ
118	95, 117	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) ∈ ℂ
119	53, 82, 64, 88	divne0i 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ≠ 0
120	53, 89, 64, 119	mulne0i 10549	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (2 / 3)) ≠ 0
121	114, 120	eqnetrri 2853	. . . . . . 7 ⊢ (seq1( · , 𝐹)‘1) ≠ 0
122	65, 118, 121	divreci 10649	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) / (seq1( · , 𝐹)‘1)) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
123	115, 122	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) / (2 · (2 / 3))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
124	43, 92, 123	3eqtri 2636	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘(2 · 1)) / (𝐼‘((2 · 1) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘1)))
125		oveq2 6557	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
126	125	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
127		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
128		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
129	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
130	127, 128, 129	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + (2 · 1)))
131	127	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 1) = 2)
132	131	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
133	130, 132	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
134	133	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑦) + 2) − 1))
135	127, 128	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
136	135, 127, 129	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) − 1) = ((2 · 𝑦) + (2 − 1)))
137	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) = 1)
138	137	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑦) + 1))
139	134, 136, 138	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑦) + 1))
140	139	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) = (((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))))
141	140	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) = ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
142	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (3 − 1) = 2)
143	142	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (3 − 1)) = ((2 · 𝑦) + 2))
144	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
145	135, 144, 129	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 1) = ((2 · 𝑦) + (3 − 1)))
146	143, 145, 133	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 1) = (2 · (𝑦 + 1)))
147	146	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))
148	147	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
149	141, 148	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
150	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
151		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
152	151	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℤ)
153	150, 152	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℤ)
154	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
155		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
156		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
157	155, 156	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
158		0le2 10988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
160		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ₀)
161	160	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑦)
162	156, 155	addge02d 10495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ 𝑦 ↔ 1 ≤ (𝑦 + 1)))
163	161, 162	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑦 + 1))
164	154, 157, 159, 163	lemulge11d 10840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · (𝑦 + 1)))
165	44	eluz1i 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · (𝑦 + 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (2 · (𝑦 + 1))))
166	153, 164, 165	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
167	47, 166	itgsinexp 38846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2))))
168	133	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 2) = (((2 · 𝑦) + 2) − 2))
169	135, 127	pncand 10272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) − 2) = (2 · 𝑦))
170	168, 169	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 2) = (2 · 𝑦))
171	170	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2)) = (𝐼‘(2 · 𝑦)))
172	171	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) − 2))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
173	167, 172	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) = ((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))))
174	133	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) = (((2 · 𝑦) + 2) + 1))
175	135, 127, 129	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 2) + 1) = ((2 · 𝑦) + (2 + 1)))
176	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 + 1) = 3)
177	176	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (2 + 1)) = ((2 · 𝑦) + 3))
178	174, 175, 177	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) = ((2 · 𝑦) + 3))
179	178	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 3)))
180	150, 151	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
181	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
182	180, 181	zaddcld 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℤ)
183	154, 155	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
184	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
185	183, 184	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℝ)
186		nnge1 10923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
187	154, 155, 159, 186	lemulge11d 10840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (2 · 𝑦))
188		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
189		3pos 10991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
190	188, 71, 189	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 3
191	183, 184	addge01d 10494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ 3 ↔ (2 · 𝑦) ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
192	190, 191	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ≤ ((2 · 𝑦) + 3))
193	154, 183, 185, 187, 192	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3))
194	44	eluz1i 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑦) + 3) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
195	182, 193, 194	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ (ℤ_≥‘2))
196	47, 195	itgsinexp 38846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · 𝑦) + 3)) = (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
197	179, 196	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))))
198	173, 197	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · (𝑦 + 1)) − 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((((2 · 𝑦) + 3) − 1) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
199	135, 129	addcld 9938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℂ)
200	128, 129	addcld 9938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℂ)
201	127, 200	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℂ)
202	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
203		peano2nn 10909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
204	203	nnne0d 10942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ≠ 0)
205	127, 200, 202, 204	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 0)
206	199, 201, 205	divcld 10680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
207		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
208	207	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
209	208, 160	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ₀)
210	47	wallispilem3 38960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℝ⁺)
211	210	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
212	209, 211	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
213	135, 144	addcld 9938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℂ)
214		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
215		2pos 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 2)
217		nngt0 10926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
218	154, 155, 216, 217	mulgt0d 10071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑦))
219	184, 189	jctir 559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
220		elrp 11710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 ∈ ℝ⁺ ↔ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
221	219, 220	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ⁺)
222	183, 221	ltaddrpd 11781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) < ((2 · 𝑦) + 3))
223	214, 183, 185, 218, 222	lttrd 10077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑦) + 3))
224	223	gt0ne0d 10471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ≠ 0)
225	201, 213, 224	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ)
226	201, 213, 205, 224	divne0d 10696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0)
227	182, 150	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℤ)
228	185, 154	subge0d 10496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑦) + 3)))
229	193, 228	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2))
230		elnn0z 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ₀ ↔ ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((2 · 𝑦) + 3) − 2)))
231	227, 229, 230	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ₀)
232	47	wallispilem3 38960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 · 𝑦) + 3) − 2) ∈ ℕ₀ → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℝ⁺)
233	231, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℝ⁺)
234	233	rpcnne0d 11757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0))
235	225, 226, 234	jca31 555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0) ∧ ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0)))
236		divmuldiv 10604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(2 · 𝑦)) ∈ ℂ) ∧ ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0) ∧ ((𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ∈ ℂ ∧ (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) ≠ 0))) → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
237	206, 212, 235, 236	syl21anc 1317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) · (𝐼‘(2 · 𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) · (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
238	149, 198, 237	3eqtr4d 2654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))))
239	135, 144, 127	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) = ((2 · 𝑦) + (3 − 2)))
240	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (3 − 2) = 1)
241	240	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + (3 − 2)) = ((2 · 𝑦) + 1))
242	239, 241	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 3) − 2) = ((2 · 𝑦) + 1))
243	242	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)) = (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))
244	243	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2))) = ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))))
245	244	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘(((2 · 𝑦) + 3) − 2)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
246	238, 245	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
247	246	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1)))))
248		elnnuz 11600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1))
249	248	biimpi 205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1))
250		seqp1 12678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ_≥‘1) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))))
251	249, 250	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))))
252	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))
253		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → (2 · 𝑘) = (2 · (𝑦 + 1)))
254	253	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) − 1))
255	253, 254	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)))
256	253	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))
257	253, 256	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))
258	255, 257	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑦 + 1) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
259	258	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = (𝑦 + 1)) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
260	154, 157	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℝ)
261	260, 156	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
262		1lt2 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
263	262	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < 2)
264		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ⁺)
265	156, 264	ltaddrp2d 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (𝑦 + 1))
266	154, 157, 263, 265	mulgt1d 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 < (2 · (𝑦 + 1)))
267	156, 266	gtned 10051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ≠ 1)
268	201, 129, 267	subne0d 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) − 1) ≠ 0)
269	260, 261, 268	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
270	178, 185	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) ∈ ℝ)
271	178, 224	eqnetrd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) + 1) ≠ 0)
272	260, 270, 271	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
273	269, 272	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) ∈ ℝ)
274	252, 259, 203, 273	fvmptd 6197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑦 + 1)) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))
275	274	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (𝐹‘(𝑦 + 1))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))
276	251, 275	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))
277	276	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))))
278	277	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))))
279	139	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)))
280	178	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)) = ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))
281	279, 280	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))
282	281	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))) = ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
283	282	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1))))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
284	283	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))) = ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))))
285		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ (1...𝑦) → 𝑤 ∈ ℕ)
286	285	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑦)) → 𝑤 ∈ ℕ)
287	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)))))
288		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑤))
289	288	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑤) − 1))
290	288, 289	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)))
291	288	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑤) + 1))
292	288, 291	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1)) = ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1)))
293	290, 292	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑤 → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
294	293	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑘 = 𝑤) → (((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) − 1)) · ((2 · 𝑘) / ((2 · 𝑘) + 1))) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
295		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℕ)
296		2rp 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
297	296	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
298		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℝ⁺)
299	297, 298	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (2 · 𝑤) ∈ ℝ⁺)
300	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
301		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℝ)
302	300, 301	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (2 · 𝑤) ∈ ℝ)
303		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
304	302, 303	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) − 1) ∈ ℝ)
305		nnge1 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑤)
306		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
307	306	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (1 · 𝑤) = 𝑤)
308	303, 300, 298	ltmul1d 11789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (1 < 2 ↔ (1 · 𝑤) < (2 · 𝑤)))
309	262, 308	mpbii 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (1 · 𝑤) < (2 · 𝑤))
310	307, 309	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 < (2 · 𝑤))
311	303, 301, 302, 305, 310	lelttrd 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑤))
312	303, 302	posdifd 10493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (1 < (2 · 𝑤) ↔ 0 < ((2 · 𝑤) − 1)))
313	311, 312	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑤) − 1))
314	304, 313	elrpd 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) − 1) ∈ ℝ⁺)
315	299, 314	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) ∈ ℝ⁺)
316	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
317	298	rpge0d 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑤)
318	300, 301, 316, 317	mulge0d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑤))
319	302, 318	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) + 1) ∈ ℝ⁺)
320	299, 319	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1)) ∈ ℝ⁺)
321	315, 320	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))) ∈ ℝ⁺)
322	287, 294, 295, 321	fvmptd 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑤) = (((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) − 1)) · ((2 · 𝑤) / ((2 · 𝑤) + 1))))
323	322, 321	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ⁺)
324	286, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ (1...𝑦)) → (𝐹‘𝑤) ∈ ℝ⁺)
325		rpmulcl 11731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → (𝑤 · 𝑧) ∈ ℝ⁺)
326	325	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑤 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺)) → (𝑤 · 𝑧) ∈ ℝ⁺)
327	249, 324, 326	seqcl 12683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ⁺)
328	327	rpcnne0d 11757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0))
329	296	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
330	155, 161	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ⁺)
331	329, 330	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · (𝑦 + 1)) ∈ ℝ⁺)
332	154, 155, 159, 161	mulge0d 10483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ (2 · 𝑦))
333	183, 332	ge0p1rpd 11778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ∈ ℝ⁺)
334	331, 333	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) ∈ ℝ⁺)
335	329, 264	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ⁺)
336	335, 221	rpaddcld 11763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 3) ∈ ℝ⁺)
337	331, 336	rpdivcld 11765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℝ⁺)
338	334, 337	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℝ⁺)
339	338	rpcnne0d 11757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ ∧ (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0))
340		divdiv1 10615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0) ∧ ((((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ ∧ (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0)) → ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
341	129, 328, 339, 340	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
342	341	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))) = ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
343	342	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))) = ((π / 2) · ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
344	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
345	327	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ∈ ℂ)
346	327	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (seq1( · , 𝐹)‘𝑦) ≠ 0)
347	345, 346	reccld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) ∈ ℂ)
348	338	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ)
349	338	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ≠ 0)
350	344, 347, 348, 349	divassd 10715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = ((π / 2) · ((1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))))
351	139, 268	eqnetrrd 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) + 1) ≠ 0)
352	201, 199, 201, 213, 351, 224	divmuldivd 10721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) = (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))))
353	352	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))))
354	344, 347	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) ∈ ℂ)
355	201, 201	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) ∈ ℂ)
356	199, 213	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) ∈ ℂ)
357	201, 201, 205, 205	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) ≠ 0)
358	199, 213, 351, 224	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) ≠ 0)
359	354, 355, 356, 357, 358	divdiv2d 10712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))) = ((((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))))
360	354, 356, 355, 357	divassd 10715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3))) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))))
361	359, 360	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))) / (((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))))
362	199, 201, 201, 213, 205, 224, 205	divdivdivd 10727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) = ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))))
363	362	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1)))) = ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))))
364	363	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) · ((2 · 𝑦) + 3)) / ((2 · (𝑦 + 1)) · (2 · (𝑦 + 1))))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
365	353, 361, 364	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) / (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
366	343, 350, 365	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))) = (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))))
367	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
368	367	halfcld 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (π / 2) ∈ ℂ)
369	368, 347	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) ∈ ℂ)
370	206, 225, 226	divcld 10680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) ∈ ℂ)
371	369, 370	mulcomd 9940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) · ((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
372	284, 366, 371	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / ((seq1( · , 𝐹)‘𝑦) · (((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) − 1)) · ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · (𝑦 + 1)) + 1)))))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
373	278, 372	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
374	373	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))) = (((((2 · 𝑦) + 1) / (2 · (𝑦 + 1))) / ((2 · (𝑦 + 1)) / ((2 · 𝑦) + 3))) · ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))))
375	126, 247, 374	3eqtr4d 2654	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ ((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦)))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1)))))
376	375	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((𝐼‘(2 · 𝑦)) / (𝐼‘((2 · 𝑦) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑦))) → ((𝐼‘(2 · (𝑦 + 1))) / (𝐼‘((2 · (𝑦 + 1)) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘(𝑦 + 1))))))
377	9, 18, 27, 36, 124, 376	nnind 10915	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))) = ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
378	377	mpteq2ia 4668	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
379		wallispilem4.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐼‘(2 · 𝑛)) / (𝐼‘((2 · 𝑛) + 1))))
380		wallispilem4.4	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((π / 2) · (1 / (seq1( · , 𝐹)‘𝑛))))
381	378, 379, 380	3eqtr4i 2642	1 ⊢ 𝐺 = 𝐻

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 (,)cioo 12046 ...cfz 12197 seqcseq 12663 ↑cexp 12722 sincsin 14633 πcpi 14636 ∫citg 23193

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cc 9140 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-iin 4458 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-ofr 6796 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-supp 7183 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-omul 7452 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fsupp 8159 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-acn 8651 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ioc 12051 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-fac 12923 df-bc 12952 df-hash 12980 df-shft 13655 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-limsup 14050 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-ef 14637 df-sin 14639 df-cos 14640 df-pi 14642 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-hom 15793 df-cco 15794 df-rest 15906 df-topn 15907 df-0g 15925 df-gsum 15926 df-topgen 15927 df-pt 15928 df-prds 15931 df-xrs 15985 df-qtop 15990 df-imas 15991 df-xps 15993 df-mre 16069 df-mrc 16070 df-acs 16072 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-submnd 17159 df-mulg 17364 df-cntz 17573 df-cmn 18018 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-fbas 19564 df-fg 19565 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cld 20633 df-ntr 20634 df-cls 20635 df-nei 20712 df-lp 20750 df-perf 20751 df-cn 20841 df-cnp 20842 df-haus 20929 df-cmp 21000 df-tx 21175 df-hmeo 21368 df-fil 21460 df-fm 21552 df-flim 21553 df-flf 21554 df-xms 21935 df-ms 21936 df-tms 21937 df-cncf 22489 df-ovol 23040 df-vol 23041 df-mbf 23194 df-itg1 23195 df-itg2 23196 df-ibl 23197 df-itg 23198 df-0p 23243 df-limc 23436 df-dv 23437

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