MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem1a 24975
Description: Lemma for dchrisum0lem1 25005. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1a (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))

Proof of Theorem dchrisum0lem1a
StepHypRef Expression
1 elfznn 12241 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) → 𝐷 ∈ ℕ)
21adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℕ)
32nnred 10912 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ)
4 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ+)
54rpregt0d 11754 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
65adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋))
76simpld 474 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
84adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ+)
98rpge0d 11752 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 0 ≤ 𝑋)
104rpred 11748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 fznnfl 12523 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋)) ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑋)))
1312simplbda 652 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷𝑋)
143, 7, 7, 9, 13lemul2ad 10843 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋 · 𝑋))
15 rpcn 11717 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℂ)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
1716sqvald 12867 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1817adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) = (𝑋 · 𝑋))
1914, 18breqtrrd 4611 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2))
20 2z 11286 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
21 rpexpcl 12741 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
224, 20, 21sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ+)
2322rpred 11748 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
2423adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋↑2) ∈ ℝ)
252nnrpd 11746 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
267, 24, 25lemuldivd 11797 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋 · 𝐷) ≤ (𝑋↑2) ↔ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)))
2719, 26mpbid 221 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷))
28 nndivre 10933 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
2923, 1, 28syl2an 493 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ)
30 flword2 12476 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷)) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
317, 29, 27, 30syl3anc 1318 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋)))
3227, 31jca 553 1 (((𝜑𝑋 ∈ ℝ+) ∧ 𝐷 ∈ (1...(⌊‘𝑋))) → (𝑋 ≤ ((𝑋↑2) / 𝐷) ∧ (⌊‘((𝑋↑2) / 𝐷)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  ...cfz 12197  cfl 12453  cexp 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005
  Copyright terms: Public domain W3C validator