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Theorem prmreclem6 15463
Description: Lemma for prmrec 15464. If the series 𝐹 was convergent, there would be some 𝑘 such that the sum starting from 𝑘 + 1 sums to less than 1 / 2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 15462 to produce the contradictory bound 𝑁 / 2 < (2↑𝑘)√𝑁, which is false for 𝑁 = 2↑(2𝑘 + 2). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
Assertion
Ref Expression
prmreclem6 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑝 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11599 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 0re 9919 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4080 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
74, 5, 6sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
97, 8fmptd 6292 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
109ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 12692 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1211trud 1484 . . . . . . 7 seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ
13 frn 5966 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
15 1nn 10908 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1612fdmi 5965 . . . . . . . 8 dom seq1( + , 𝐹) = ℕ
1715, 16eleqtrri 2687 . . . . . . 7 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹)
18 ne0i 3880 . . . . . . . 8 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 dm0rn0 5263 . . . . . . . . 9 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
2019necon3bii 2834 . . . . . . . 8 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2118, 20sylib 207 . . . . . . 7 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
23 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → 1 ∈ ℤ)
24 climdm 14133 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2524biimpi 205 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2726ffvelrnda 6267 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
281, 23, 25, 27climrecl 14162 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
29 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
31 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
32 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑗))
3331, 32ifbieq1d 4059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
34 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3635nnrecred 10943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
3836, 37ifclda 4070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
3938trud 1484 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ
4039elexi 3186 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ V
4133, 8, 40fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
46 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
4847rpreccld 11758 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 11752 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑗))
50 0le0 10987 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
51 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑗) ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
52 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
5351, 52ifboth 4074 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ (1 / 𝑗) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5449, 50, 53sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5554, 42breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
5655adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
571, 29, 30, 45, 56climserle 14241 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
5857ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
59 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6059ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
6160rspcev 3282 . . . . . . . 8 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6228, 58, 61syl2anc 691 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
63 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
64 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6564ralrn 6270 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6612, 63, 65mp2b 10 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6766rexbii 3023 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6862, 67sylibr 223 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
69 suprcl 10862 . . . . . 6 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7014, 22, 68, 69syl3anc 1318 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
71 2rp 11713 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
72 rpreccl 11733 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7371, 72ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
74 ltsubrp 11742 . . . . 5 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
7570, 73, 74sylancl 693 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
76 halfre 11123 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
77 resubcl 10224 . . . . . 6 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
7870, 76, 77sylancl 693 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
79 suprlub 10864 . . . . 5 (((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) ∧ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8014, 22, 68, 78, 79syl31anc 1321 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
8175, 80mpbid 221 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦)
82 breq2 4587 . . . . 5 (𝑦 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8382rexrn 6269 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8412, 63, 83mp2b 10 . . 3 (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
8581, 84sylib 207 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
86 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
87 2nn 11062 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
88 nnmulcl 10920 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
8987, 29, 88sylancr 694 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
9089peano2nnd 10914 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
9190nnnn0d 11228 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
92 reexpcl 12739 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9386, 91, 92sylancr 694 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9493ltnrd 10050 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
9529adantr 480 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
96 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9897nnnn0d 11228 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
99 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
10087, 98, 99sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
101100nnsqcld 12891 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
102101adantr 480 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
103 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝𝑟𝑤𝑟))
104103notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑤 → (¬ 𝑝𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑟))
105104cbvralv 3147 . . . . . . . . 9 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟)
106 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑛 → (𝑤𝑟𝑤𝑛))
107106notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑛 → (¬ 𝑤𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑛))
108107ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
109105, 108syl5bb 271 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
110109cbvrabv 3172 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟} = {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛}
111 simpll 786 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
112 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
113 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑗))
114112, 113ifbieq1d 4059 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
115114cbvsumv 14274 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)
116 simpr 476 . . . . . . . 8 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2))
117115, 116syl5eqbr 4618 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) < (1 / 2))
118 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)}) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)})
1198, 95, 102, 110, 111, 117, 118prmreclem5 15462 . . . . . 6 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))))
120119ex 449 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)))))
121 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝑘 + 1)) = (ℤ‘(𝑘 + 1))
12297nnzd 11357 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
123 eluznn 11634 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
12497, 123sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
125124, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12639a1i 11 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
127 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12841adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12939recni 9931 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
131128, 130eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1321, 97, 131iserex 14235 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
133127, 132mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
134121, 122, 125, 126, 133isumrecl 14338 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
13576a1i 11 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
136 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ)
138137, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
13929, 1syl6eleq 2698 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
140129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
141138, 139, 140fsumser 14308 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
142141, 27eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
143134, 135, 142ltadd2d 10072 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
1441, 121, 97, 128, 130, 127isumsplit 14411 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
145 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
146145adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
147 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
148 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
149146, 147, 148sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
150149oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...((𝑘 + 1) − 1)) = (1...𝑘))
151150sumeq1d 14279 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
152151oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
153144, 152eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
154153breq1d 4593 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2)) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
155143, 154bitr4d 270 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
156 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 seq1( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹)
1571, 156, 23, 42, 43, 54, 62isumsup 14418 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
158157, 70eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
159158adantr 480 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
160159, 135, 142ltsubaddd 10502 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
161157adantr 480 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
162161oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) = (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)))
163162, 141breq12d 4596 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
164155, 160, 1633bitr2d 295 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
165 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
167147a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
168166, 146, 167adddid 9943 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
16997nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
170 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
171169, 165, 170sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
17289nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
173172, 167, 167addassd 9941 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
1741472timesi 11024 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = (1 + 1)
175174oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
176173, 175syl6eqr 2662 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
177168, 171, 1763eqtr4d 2654 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
178177oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
179 2nn0 11186 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
180179a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
181166, 180, 98expmuld 12873 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = ((2↑(𝑘 + 1))↑2))
182 expp1 12729 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
183165, 91, 182sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
184178, 181, 1833eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
185184oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2))
186 expcl 12740 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
187165, 91, 186sylancr 694 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
188 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
189 divcan4 10591 . . . . . . . . 9 (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
190165, 188, 189mp3an23 1408 . . . . . . . 8 ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
191187, 190syl 17 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
192185, 191eqtrd 2644 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
193 nnnn0 11176 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
194193adantl 481 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
195166, 98, 194expaddd 12872 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
1961462timesd 11152 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
197196oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((𝑘 + 𝑘) + 1))
198146, 146, 167addassd 9941 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
199197, 198eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
200199oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) = (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))))
201100nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
202201rprege0d 11755 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))))
203 sqrtsq 13858 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
204202, 203syl 17 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
205204oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
206195, 200, 2053eqtr4rd 2655 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
207192, 206breq12d 4596 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) ↔ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
208120, 164, 2073imtr3d 281 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
20994, 208mtod 188 . . 3 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
210209nrexdv 2984 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
21185, 210pm2.65i 184 1 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wtru 1476  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cuz 11563  +crp 11708  ...cfz 12197  seqcseq 12663  cexp 12722  csqrt 13821  cli 14063  Σcsu 14264  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380
This theorem is referenced by:  prmrec  15464
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