Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem2 24514
 Description: Lemma for jensen 24515. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
jensen.7 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
jensenlem.1 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
jensenlem.2 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
jensenlem.l 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
jensenlem.3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
jensenlem.4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
jensenlem.5 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
Assertion
Ref Expression
jensenlem2 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 19589 . . . . . . 7 0 = (0g‘ℂfld)
2 cnring 19587 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
3 ringabl 18403 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
42, 3mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ Abel)
5 jensen.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 jensenlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
76unssad 3752 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐴)
8 ssfi 8065 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
95, 7, 8syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 resubdrg 19773 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
1110simpli 473 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
12 subrgsubg 18609 . . . . . . . 8 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
1311, 12mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
14 remulcl 9900 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
16 jensen.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
17 rge0ssre 12151 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
18 fss 5969 . . . . . . . . . 10 ((𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝑇:𝐴⟶ℝ)
1916, 17, 18sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇:𝐴⟶ℝ)
20 jensen.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
21 jensen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
2220, 21fssd 5970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐴⟶ℝ)
23 inidm 3784 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐴) = 𝐴
2415, 19, 22, 5, 5, 23off 6810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑓 · 𝑋):𝐴⟶ℝ)
2524, 7fssresd 5984 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
26 c0ex 9913 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ V)
2825, 9, 27fdmfifsupp 8168 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) finSupp 0)
291, 4, 9, 13, 25, 28gsumsubgcl 18143 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
3029recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
31 ax-resscn 9872 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
3217, 31sstri 3577 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
336unssbd 3753 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
34 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3534snss 4259 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
3633, 35sylibr 223 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧𝐴)
3716, 36ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞))
3832, 37sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
3920, 36ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ 𝐷)
4021, 39sseldd 3569 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℝ)
4140recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑧) ∈ ℂ)
4238, 41mulcld 9939 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
43 jensen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
44 jensen.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
45 jensen.7 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
46 jensen.8 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
47 jensenlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
48 jensenlem.s . . . . . . . 8 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
49 jensenlem.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
5021, 43, 44, 5, 16, 20, 45, 46, 47, 6, 48, 49jensenlem1 24513 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
51 jensenlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
5251rpred 11748 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
53 elrege0 12149 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑇𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑇𝑧)))
5453simplbi 475 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5537, 54syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℝ)
5652, 55readdcld 9948 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 + (𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5750, 56eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
5857recnd 9947 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
59 0red 9920 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6051rpgt0d 11751 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑆)
6153simprbi 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6237, 61syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑇𝑧))
6352, 55addge01d 10494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ (𝑇𝑧) ↔ 𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧))))
6462, 63mpbid 221 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ≤ (𝑆 + (𝑇𝑧)))
6564, 50breqtrrd 4611 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐿)
6659, 52, 57, 60, 65ltletrd 10076 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐿)
6766gt0ne0d 10471 . . . . 5 (𝜑𝐿 ≠ 0)
6830, 42, 58, 67divdird 10718 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
69 cnfldbas 19571 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
70 cnfldadd 19572 . . . . . . 7 + = (+g‘ℂfld)
71 ringcmn 18404 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
722, 71mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
737sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
7416ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7573, 74syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7632, 75sseldi 3566 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
7721adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ⊆ ℝ)
7820ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
7973, 78syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ 𝐷)
8077, 79sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
8180recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
8276, 81mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) ∈ ℂ)
83 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑧))
84 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑋𝑥) = (𝑋𝑧))
8583, 84oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)) = ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)))
8669, 70, 72, 9, 82, 36, 47, 42, 85gsumunsn 18182 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
8716feqmptd 6159 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑇𝑥)))
8820feqmptd 6159 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 = (𝑥𝐴 ↦ (𝑋𝑥)))
895, 74, 78, 87, 88offval2 6812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑓 · 𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9089reseq1d 5316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
916resmptd 5371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9290, 91eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9392oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9489reseq1d 5316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵))
957resmptd 5371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9694, 95eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥))))
9796oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))))
9897oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝑋𝑥)))) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
9986, 93, 983eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))))
10099oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧))) / 𝐿))
10152recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
10251rpne0d 11753 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ 0)
10330, 101, 58, 102, 67dmdcand 10709 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
10458, 101, 58, 67divsubdird 10719 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)))
10550oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝑆) = ((𝑆 + (𝑇𝑧)) − 𝑆))
106101, 38pncan2d 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 + (𝑇𝑧)) − 𝑆) = (𝑇𝑧))
107105, 106eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝑆) = (𝑇𝑧))
108107oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿𝑆) / 𝐿) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
10958, 67dividd 10678 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 / 𝐿) = 1)
110109oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐿 / 𝐿) − (𝑆 / 𝐿)) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
111104, 108, 1103eqtr3rd 2653 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) = ((𝑇𝑧) / 𝐿))
112111oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
11338, 41, 58, 67div23d 10717 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝑋𝑧)))
114112, 113eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)) = (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿))
115103, 114oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝑋𝑧)) / 𝐿)))
11668, 100, 1153eqtr4d 2654 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
117 jensenlem.4 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷)
11852, 57, 67redivcld 10732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ)
11951rpge0d 11752 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
120 divge0 10771 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
12152, 119, 57, 66, 120syl22anc 1319 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑆 / 𝐿))
12258mulid1d 9936 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 1) = 𝐿)
12365, 122breqtrrd 4611 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝐿 · 1))
124 1red 9934 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
125 ledivmul 10778 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
12652, 124, 57, 66, 125syl112anc 1322 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) ≤ 1 ↔ 𝑆 ≤ (𝐿 · 1)))
127123, 126mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ≤ 1)
128 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
129 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
130128, 129elicc2i 12110 . . . . . 6 ((𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑆 / 𝐿) ∧ (𝑆 / 𝐿) ≤ 1))
131118, 121, 127, 130syl3anbrc 1239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))
132117, 39, 1313jca 1235 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)))
13321, 44cvxcl 24511 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1))) → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
134132, 133mpdan 699 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))) ∈ 𝐷)
135116, 134eqeltrd 2688 . 2 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷)
13643, 134ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
13743, 117ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
138118, 137remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ∈ ℝ)
13943, 39ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℝ)
14055, 139remulcld 9949 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
141140, 57, 67redivcld 10732 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) ∈ ℝ)
142138, 141readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ∈ ℝ)
143 fco 5971 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ 𝑋:𝐴𝐷) → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
14443, 20, 143syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋):𝐴⟶ℝ)
14515, 19, 144, 5, 5, 23off 6810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)):𝐴⟶ℝ)
146145, 7fssresd 5984 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵):𝐵⟶ℝ)
147146, 9, 27fdmfifsupp 8168 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) finSupp 0)
1481, 4, 9, 13, 146, 147gsumsubgcl 18143 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℝ)
149148, 52, 102redivcld 10732 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ)
150118, 149remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ)
151 resubcl 10224 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ) → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
152129, 118, 151sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (𝑆 / 𝐿)) ∈ ℝ)
153152, 139remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℝ)
154150, 153readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ∈ ℝ)
155 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
156155oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
157156fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
158 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
159158oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → (𝑡 · (𝐹𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
160159oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
161157, 160breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
162161imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
163 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))
164163oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))))
165164fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))))
166 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
167166oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
168167oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
169165, 168breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
170169imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑋𝑧) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
171 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
172 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (1 − 𝑡) = (1 − (𝑆 / 𝐿)))
173172oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))
174171, 173oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧))) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧))))
175174fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
176 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → (𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) = ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
177172oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
178176, 177oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
179175, 178breq12d 4596 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ↔ (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
180179imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑆 / 𝐿) → ((𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − 𝑡) · (𝑋𝑧)))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))))
18146expcom 450 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
182162, 170, 180, 181vtocl3ga 3249 . . . . . . 7 ((((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ 𝐷 ∧ (𝑋𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑆 / 𝐿) ∈ (0[,]1)) → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
183117, 39, 131, 182syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))))
184183pm2.43i 50 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
185111oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
186139recnd 9947 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝑧)) ∈ ℂ)
18738, 186, 58, 67div23d 10717 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = (((𝑇𝑧) / 𝐿) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
188185, 187eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) = (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿))
189188oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
190184, 189breqtrd 4609 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
191187, 185eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿) = ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
192191oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) = (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
193 jensenlem.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))
19452, 57, 60, 66divgt0d 10838 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑆 / 𝐿))
195 lemul2 10755 . . . . . . . 8 (((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ∈ ℝ ∧ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ∈ ℝ ∧ ((𝑆 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑆 / 𝐿))) → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
196137, 149, 118, 194, 195syl112anc 1322 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆) ↔ ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆))))
197193, 196mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) ≤ ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)))
198138, 150, 153, 197leadd1dd 10520 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
199192, 198eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆))) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
200136, 142, 154, 190, 199letrd 10073 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))) ≤ (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
201116fveq2d 6107 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) = (𝐹‘(((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝑋𝑧)))))
202148recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) ∈ ℂ)
203140recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) ∈ ℂ)
204202, 203, 58, 67divdird 10718 . . . 4 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
20517, 74sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ ℝ)
20643ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑥) ∈ 𝐷) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
20778, 206syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
208205, 207remulcld 9949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℝ)
209208recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
21073, 209syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) ∈ ℂ)
21184fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑋𝑥)) = (𝐹‘(𝑋𝑧)))
21283, 211oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))) = ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))))
21369, 70, 72, 9, 210, 36, 47, 203, 212gsumunsn 18182 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
21443feqmptd 6159 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
215 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑋𝑥)))
21678, 88, 214, 215fmptco 6303 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝑋𝑥))))
2175, 74, 207, 87, 216offval2 6812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
218217reseq1d 5316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
2196resmptd 5371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
220218, 219eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
221220oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
222217reseq1d 5316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵))
2237resmptd 5371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
224222, 223eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥)))))
225224oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))))
226225oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ ((𝑇𝑥) · (𝐹‘(𝑋𝑥))))) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
227213, 221, 2263eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝜑 → (ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
228227oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) + ((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) / 𝐿))
229202, 101, 58, 102, 67dmdcand 10709 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) = ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿))
230229, 188oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))) = (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝐿) + (((𝑇𝑧) · (𝐹‘(𝑋𝑧))) / 𝐿)))
231204, 228, 2303eqtr4d 2654 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) = (((𝑆 / 𝐿) · ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ 𝐵)) / 𝑆)) + ((1 − (𝑆 / 𝐿)) · (𝐹‘(𝑋𝑧)))))
232200, 201, 2313brtr4d 4615 . 2 (𝜑 → (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿))
233135, 232jca 553 1 (𝜑 → (((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · 𝑋) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)) ≤ ((ℂfld Σg ((𝑇𝑓 · (𝐹𝑋)) ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) / 𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048  [,]cicc 12049   Σg cgsu 15924  SubGrpcsubg 17411  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017  Ringcrg 18370  DivRingcdr 18570  SubRingcsubrg 18599  ℂfldccnfld 19567  ℝfldcrefld 19769 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-cnfld 19568  df-refld 19770 This theorem is referenced by:  jensen  24515
 Copyright terms: Public domain W3C validator