Theorem rprege0d 11755

Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 11748	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 11752	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  eirrlem  14771  prmreclem3  15460  prmreclem6  15463  cxprec  24232  cxpsqrt  24249  cxpcn3lem  24288  cxplim  24498  cxploglim2  24505  divsqrtsumlem  24506  divsqrtsumo1  24510  fsumharmonic  24538  zetacvg  24541  logfacubnd  24746  logfacbnd3  24748  bposlem1  24809  bposlem4  24812  bposlem7  24815  bposlem9  24817  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem3  24988  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lema  25003  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  chpdifbndlem2  25043  selberg3lem1  25046  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6a  25071  pntpbnd2  25076  pntibndlem2  25080  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemh  25088  pntlemn  25089  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  blocnilem  27043  ubthlem2  27111  minvecolem4  27120  2sqmod  28979  eulerpartlemgc  29751  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  stirlinglem3  38969  stirlinglem15  38981  amgmlemALT  42358