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Theorem stirlinglem15 38981
 Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 38982 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1 𝑛𝜑
stirlinglem15.2 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem15.4 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem15.5 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem15.6 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
stirlinglem15.7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
stirlinglem15.8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
stirlinglem15.9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
stirlinglem15.10 (𝜑𝐴𝐶)
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
Distinct variable group:   𝐶,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3 𝑛𝜑
2 nnnn0 11176 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4 2cnd 10970 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5 picn 24015 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
74, 6mulcld 9939 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℂ)
8 nncn 10905 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
107, 9mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · π) · 𝑛) ∈ ℂ)
1110sqrtcld 14024 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) ∈ ℂ)
12 ere 14658 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ
1312recni 9931 . . . . . . . . . . 11 e ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
15 epos 14774 . . . . . . . . . . . 12 0 < e
1612, 15gt0ne0ii 10443 . . . . . . . . . . 11 e ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
188, 14, 17divcld 10680 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
1918, 2expcld 12870 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
2111, 20mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
22 stirlinglem15.2 . . . . . . 7 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2322fvmpt2 6200 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
243, 21, 23syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
2524oveq2d 6565 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
266sqrtcld 14024 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) ∈ ℂ)
27 2cnd 10970 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
2827, 8mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
2928sqrtcld 14024 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
3126, 30, 20mulassd 9942 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
33 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
3432, 33nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐹
35 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
36 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
3735, 36nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝐻
38 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
39 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
4038, 39nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛𝑉
41 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
42 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
43 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
44 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
4543, 44nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐴
46 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
47 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
4846, 47nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝐷
49 faccl 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ0 → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
502, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
5150nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℝ+)
52 2rp 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ+
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
54 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5553, 54rpmulcld 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ+)
5655rpsqrtcld 13998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
57 epr 14775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℝ+
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
5954, 58rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℝ+)
60 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6159, 60rpexpcld 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℝ+)
6256, 61rpmulcld 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℝ+)
6351, 62rpdivcld 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℝ+)
6443, 63fmpti 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴:ℕ⟶ℝ+
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:ℕ⟶ℝ+)
66 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛)↑4))
67 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐷𝑛)↑2))
6864a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴:ℕ⟶ℝ+)
69 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7270, 71nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
7368, 72ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+)
7446fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℝ+) → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7573, 74mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
7675, 73eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ ℝ+)
78 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
79 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐶)
801, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79stirlinglem8 38974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ⇝ (𝐶↑2))
81 nnex 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℕ ∈ V
8281mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
8338, 82eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑉 ∈ V)
85 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 − (1 / ((2 · 𝑛) + 1))))
86 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
87 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
8835, 85, 86, 87stirlinglem1 38967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 ⇝ (1 / 2)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 2))
9050nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
9129, 19mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
9255sqrtgt0d 13999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
9392gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
94 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
958, 14, 94, 17divne0d 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
9618, 95, 60expne0d 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
9729, 19, 93, 96mulne0d 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
9890, 91, 97divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
9943fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
10098, 99mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
101100, 98eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
102 4nn0 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ0)
104101, 103expcld 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴𝑛)↑4) ∈ ℂ)
10576rpcnd 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ ℂ)
106105sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ∈ ℂ)
10776rpne0d 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ≠ 0)
108 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℤ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
110105, 107, 109expne0d 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷𝑛)↑2) ≠ 0)
111104, 106, 110divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
11232fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
113111, 112mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = (((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)))
114113, 111eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
115114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
1168sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
117 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11828, 117addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
1198, 118mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
12072nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
121 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
12272nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
123 0lt1 10429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 1
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 1)
125120, 121, 122, 124addgt0d 10481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
126125gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
1278, 118, 94, 126mulne0d 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)) ≠ 0)
128116, 119, 127divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
12935fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ) → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
130128, 129mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131130, 128eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) ∈ ℂ)
133111, 128mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ)
134 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
13543, 46, 134, 38stirlinglem3 38969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
136135fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))) ∈ ℂ) → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
137133, 136mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
138113, 130oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)) = ((((𝐴𝑛)↑4) / ((𝐷𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
139137, 138eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
140139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑉𝑛) = ((𝐹𝑛) · (𝐻𝑛)))
1411, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140climmulf 38671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)))
14238wallispi2 38966 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 ⇝ (π / 2)
143 climuni 14131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 ⇝ ((𝐶↑2) · (1 / 2)) ∧ 𝑉 ⇝ (π / 2)) → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
144141, 142, 143sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶↑2) · (1 / 2)) = (π / 2))
145144oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = ((π / 2) / (1 / 2)))
14678rpcnd 11750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
147146sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
148 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
149148halfcld 11154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
150 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
151 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 2
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 2)
153152gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
154150, 153recne0d 10674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ≠ 0)
155147, 149, 154divcan4d 10686 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐶↑2) · (1 / 2)) / (1 / 2)) = (𝐶↑2))
1565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℂ)
157123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
158157gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≠ 0)
159156, 148, 150, 158, 153divcan7d 10708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = (π / 1))
160156div1d 10672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / 1) = π)
161159, 160eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((π / 2) / (1 / 2)) = π)
162145, 155, 1613eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = π)
163162fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = (√‘π))
16478rprege0d 11755 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
165 sqrtsq 13858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (√‘(𝐶↑2)) = 𝐶)
167163, 166eqtr3d 2646 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘π) = 𝐶)
168167adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘π) = 𝐶)
169168oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
170146adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17191adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
172170, 171mulcomd 9940 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 · ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
17331, 169, 1723eqtrd 2648 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶))
174173oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
175 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
176175a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
177 pire 24014 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
178177a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
179176, 178remulcld 9949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · π) ∈ ℝ)
180 0le2 10988 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 2
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 2)
182 0re 9919 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
183 pipos 24016 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
184182, 177, 183ltleii 10039 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ π
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
186176, 178, 181, 185mulge0d 10483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ (2 · π))
1873nn0red 11229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1883nn0ge0d 11231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑛)
189179, 186, 187, 188sqrtmuld 14011 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)))
190176, 181, 178, 185sqrtmuld 14011 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · π)) = ((√‘2) · (√‘π)))
191190oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)))
1924sqrtcld 14024 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘2) ∈ ℂ)
1939sqrtcld 14024 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘𝑛) ∈ ℂ)
194192, 26, 193mulassd 9942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((√‘2) · (√‘π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))))
195192, 26, 193mul12d 10124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))))
196176, 181, 187, 188sqrtmuld 14011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) = ((√‘2) · (√‘𝑛)))
197196eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · (√‘𝑛)) = (√‘(2 · 𝑛)))
198197oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘π) · ((√‘2) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
199195, 198eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘2) · ((√‘π) · (√‘𝑛))) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
200191, 194, 1993eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · π)) · (√‘𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
201189, 200eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘((2 · π) · 𝑛)) = ((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))))
202201oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
203202oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑛) / (((√‘π) · (√‘(2 · 𝑛))) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
20490adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
20593adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
20613a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ∈ ℂ)
20716a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → e ≠ 0)
2089, 206, 207divcld 10680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
20994adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
2109, 206, 209, 207divne0d 10696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 / e) ≠ 0)
21160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
212208, 210, 211expne0d 12876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
21330, 20, 205, 212mulne0d 10558 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
21478rpne0d 11753 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
215214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
216204, 171, 170, 213, 215divdiv1d 10711 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((!‘𝑛) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) · 𝐶)))
217174, 203, 2163eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘((2 · π) · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶))
21898ancli 572 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
219218adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ))
220219, 99syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
221220eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝐴𝑛))
222221oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) / 𝐶) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
22325, 217, 2223eqtrd 2648 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛)) = ((𝐴𝑛) / 𝐶))
2241, 223mpteq2da 4671 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)))
225101adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
226225, 170, 215divrec2d 10684 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑛) / 𝐶) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))
2271, 226mpteq2da 4671 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))))
228146, 214reccld 10673 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
22981mptex 6390 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V
230229a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ∈ V)
23143a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))))
232 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
233232fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
234232oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
235234fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
236232oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
237236, 232oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
238235, 237oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
239233, 238oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
240 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
241 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
242 faccl 12932 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
243 nncn 10905 . . . . . . . . . 10 ((!‘𝑘) ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
244241, 242, 2433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
245 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
246 nncn 10905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
247245, 246mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
248247sqrtcld 14024 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ∈ ℂ)
24913a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
25016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → e ≠ 0)
251246, 249, 250divcld 10680 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ∈ ℂ)
252251, 241expcld 12870 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ∈ ℂ)
253248, 252mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ∈ ℂ)
25452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
255 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
256254, 255rpmulcld 11764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ+)
257256sqrtgt0d 13999 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑘)))
258257gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑘)) ≠ 0)
259 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
260246, 249, 259, 250divne0d 10696 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 / e) ≠ 0)
261 nnz 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
262251, 260, 261expne0d 12876 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / e)↑𝑘) ≠ 0)
263248, 252, 258, 262mulne0d 10558 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) ≠ 0)
264244, 253, 263divcld 10680 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) ∈ ℂ)
265231, 239, 240, 264fvmptd 6197 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
266265, 264eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
267266adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
268 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑘((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))
269 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛1
270 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛 /
271 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐶
272269, 270, 271nfov 6575 . . . . . . . . . 10 𝑛(1 / 𝐶)
273 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛 ·
274 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑘
27545, 274nffv 6110 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐴𝑘)
276272, 273, 275nfov 6575 . . . . . . . . 9 𝑛((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))
277 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
278277oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
279268, 276, 278cbvmpt 4677 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
280279a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))))
281280fveq1d 6105 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘))
282 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
283146adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
284214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
285283, 284reccld 10673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
286285, 267mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
287 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
288287fvmpt2 6200 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
289282, 286, 288syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
290281, 289eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑘)))
29141, 42, 79, 228, 230, 267, 290climmulc2 14215 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ ((1 / 𝐶) · 𝐶))
292146, 214recid2d 10676 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 𝐶) · 𝐶) = 1)
293291, 292breqtrd 4609 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝐶) · (𝐴𝑛))) ⇝ 1)
294227, 293eqbrtrd 4605 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑛) / 𝐶)) ⇝ 1)
295224, 294eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / (𝑆𝑛))) ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  ↑cexp 12722  !cfa 12922  √csqrt 13821   ⇝ cli 14063  eceu 14632  πcpi 14636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  stirling  38982
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