MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 11274
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 11267 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 11271 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804   class class class wbr 4437   RRcr 9494   0cc0 9495    <_ cle 9632   RR+crp 11231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-rp 11232
This theorem is referenced by:  eirrlem  13919  prmreclem3  14418  prmreclem6  14421  cxprec  23045  cxpsqrt  23062  cxpcn3lem  23099  cxplim  23279  cxploglim2  23286  divsqrtsumlem  23287  divsqrtsumo1  23291  fsumharmonic  23319  logfacubnd  23474  logfacbnd3  23476  bposlem1  23537  bposlem4  23540  bposlem7  23543  bposlem9  23545  dchrmusum2  23657  dchrvmasumlem3  23662  dchrisum0flblem2  23672  dchrisum0fno1  23674  dchrisum0lema  23677  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem1  23679  dchrisum0lem2a  23680  dchrisum0lem2  23681  dchrisum0lem3  23682  chpdifbndlem2  23717  selberg3lem1  23720  pntrsumo1  23728  pntrlog2bndlem2  23741  pntrlog2bndlem4  23743  pntrlog2bndlem6a  23745  pntpbnd2  23750  pntibndlem2  23754  pntlemb  23760  pntlemg  23761  pntlemh  23762  pntlemn  23763  pntlemr  23765  pntlemj  23766  pntlemf  23768  pntlemk  23769  pntlemo  23770  blocnilem  25697  ubthlem2  25765  minvecolem4  25774  2sqmod  27614  eulerpartlemgc  28279  zetacvg  28535  irrapxlem4  30737  irrapxlem5  30738  stirlinglem3  31812  stirlinglem15  31824
  Copyright terms: Public domain W3C validator