MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 11184
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 11177 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 11181 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   RRcr 9402   0cc0 9403    <_ cle 9540   RR+crp 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-rp 11140
This theorem is referenced by:  eirrlem  13939  prmreclem3  14438  prmreclem6  14441  cxprec  23154  cxpsqrt  23171  cxpcn3lem  23208  cxplim  23418  cxploglim2  23425  divsqrtsumlem  23426  divsqrtsumo1  23430  fsumharmonic  23458  logfacubnd  23613  logfacbnd3  23615  bposlem1  23676  bposlem4  23679  bposlem7  23682  bposlem9  23684  dchrmusum2  23796  dchrvmasumlem3  23801  dchrisum0flblem2  23811  dchrisum0fno1  23813  dchrisum0lema  23816  dchrisum0lem1b  23817  dchrisum0lem1  23818  dchrisum0lem2a  23819  dchrisum0lem2  23820  dchrisum0lem3  23821  chpdifbndlem2  23856  selberg3lem1  23859  pntrsumo1  23867  pntrlog2bndlem2  23880  pntrlog2bndlem4  23882  pntrlog2bndlem6a  23884  pntpbnd2  23889  pntibndlem2  23893  pntlemb  23899  pntlemg  23900  pntlemh  23901  pntlemn  23902  pntlemr  23904  pntlemj  23905  pntlemf  23907  pntlemk  23908  pntlemo  23909  blocnilem  25836  ubthlem2  25904  minvecolem4  25913  2sqmod  27789  eulerpartlemgc  28484  zetacvg  28746  irrapxlem4  30926  irrapxlem5  30927  stirlinglem3  32024  stirlinglem15  32036
  Copyright terms: Public domain W3C validator