MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Unicode version

Theorem rprege0d 10611
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 10604 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 10608 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945   0cc0 8946    <_ cle 9077   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  eirrlem  12758  prmreclem3  13241  prmreclem6  13244  cxprec  20530  cxpsqr  20547  cxpcn3lem  20584  cxplim  20763  cxploglim2  20770  divsqrsumlem  20771  divsqrsumo1  20775  fsumharmonic  20803  logfacubnd  20958  logfacbnd3  20960  bposlem1  21021  bposlem4  21024  bposlem7  21027  bposlem9  21029  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem3  21146  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lema  21161  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  chpdifbndlem2  21201  selberg3lem1  21204  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem6a  21229  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntlemb  21244  pntlemg  21245  pntlemh  21246  pntlemn  21247  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  blocnilem  22258  ubthlem2  22326  minvecolem4  22335  zetacvg  24752  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  stirlinglem3  27692  stirlinglem15  27704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator