MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 11021
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 11014 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 11018 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9268   0cc0 9269    <_ cle 9406   RR+crp 10978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-rp 10979
This theorem is referenced by:  eirrlem  13468  prmreclem3  13961  prmreclem6  13964  cxprec  22015  cxpsqr  22032  cxpcn3lem  22069  cxplim  22249  cxploglim2  22256  divsqrsumlem  22257  divsqrsumo1  22261  fsumharmonic  22289  logfacubnd  22444  logfacbnd3  22446  bposlem1  22507  bposlem4  22510  bposlem7  22513  bposlem9  22515  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem3  22632  dchrisum0flblem2  22642  dchrisum0fno1  22644  dchrisum0lema  22647  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem1  22649  dchrisum0lem2a  22650  dchrisum0lem2  22651  dchrisum0lem3  22652  chpdifbndlem2  22687  selberg3lem1  22690  pntrsumo1  22698  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem6a  22715  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemb  22730  pntlemg  22731  pntlemh  22732  pntlemn  22733  pntlemr  22735  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemk  22739  pntlemo  22740  blocnilem  24026  ubthlem2  24094  minvecolem4  24103  eulerpartlemgc  26592  zetacvg  26848  irrapxlem4  29008  irrapxlem5  29009  stirlinglem3  29714  stirlinglem15  29726
  Copyright terms: Public domain W3C validator