MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Unicode version

Theorem rprege0d 11055
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
rprege0d  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpred 11048 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
31rpge0d 11052 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
42, 3jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   RRcr 9302   0cc0 9303    <_ cle 9440   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  eirrlem  13507  prmreclem3  14000  prmreclem6  14003  cxprec  22153  cxpsqr  22170  cxpcn3lem  22207  cxplim  22387  cxploglim2  22394  divsqrsumlem  22395  divsqrsumo1  22399  fsumharmonic  22427  logfacubnd  22582  logfacbnd3  22584  bposlem1  22645  bposlem4  22648  bposlem7  22651  bposlem9  22653  dchrmusum2  22765  dchrvmasumlem3  22770  dchrisum0flblem2  22780  dchrisum0fno1  22782  dchrisum0lema  22785  dchrisum0lem1b  22786  dchrisum0lem1  22787  dchrisum0lem2a  22788  dchrisum0lem2  22789  dchrisum0lem3  22790  chpdifbndlem2  22825  selberg3lem1  22828  pntrsumo1  22836  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem6a  22853  pntpbnd2  22858  pntibndlem2  22862  pntlemb  22868  pntlemg  22869  pntlemh  22870  pntlemn  22871  pntlemr  22873  pntlemj  22874  pntlemf  22876  pntlemk  22877  pntlemo  22878  blocnilem  24226  ubthlem2  24294  minvecolem4  24303  eulerpartlemgc  26767  zetacvg  27023  irrapxlem4  29192  irrapxlem5  29193  stirlinglem3  29897  stirlinglem15  29909
  Copyright terms: Public domain W3C validator