stirlinglem3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > stirlinglem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem stirlinglem3 38969

Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that 𝑉, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of 𝐴, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the 𝐴, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem3.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
stirlinglem3.2	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
stirlinglem3.3	⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
stirlinglem3.4	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem3	⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Proof of Theorem stirlinglem3 Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem3.4	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
2		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ₀)
3		faccl 12932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
4		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((!‘𝑛) ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
6		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 14024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
10		ere 14658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 9931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ∈ ℂ)
13		epos 14774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < e
14	10, 13	gt0ne0ii 10443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ e ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → e ≠ 0)
16	7, 12, 15	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ∈ ℂ)
17	16, 2	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ∈ ℂ)
18	9, 17	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ)
19		2rp 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ⁺)
21		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
22	20, 21	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ⁺)
23	22	sqrtgt0d 13999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · 𝑛)))
24	23	gt0ne0d 10471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
25		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
26	7, 12, 25, 15	divne0d 10696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 / e) ≠ 0)
27		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
28	16, 26, 27	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑𝑛) ≠ 0)
29	9, 17, 24, 28	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ≠ 0)
30	5, 18, 29	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ)
31		stirlinglem3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
32	31	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) ∈ ℂ) → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
33	30, 32	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) = ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
34	33	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) = (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4))
35		stirlinglem3.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
36	35	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
37	18, 36	mpdan 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘𝑛) = ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))
38	37	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) = (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4))
39	34, 38	oveq12d 6567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
40		4nn0 11188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℕ₀)
42	5, 18, 29, 41	expdivd 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) = (((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
43	42	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))↑4) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)))
44	5, 41	expcld 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
45	18, 41	expcld 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ∈ ℂ)
46	41	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℤ)
47	18, 29, 46	expne0d 12876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) ≠ 0)
48	44, 45, 47	divcan1d 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘𝑛)↑4) / (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) · (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
49	39, 43, 48	3eqtrd 2648	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) = ((!‘𝑛)↑4))
50	49	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘𝑛)↑4) = (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
51	50	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))))
52		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ₀)
54	53, 2	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
55		faccl 12932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ)
56		nncn 10905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
58	57	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
59	6, 8	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
60	59	sqrtcld 14024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
61	8, 12, 15	divcld 10680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ∈ ℂ)
62	61, 54	expcld 12870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 9939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ∈ ℂ)
64	63	sqcld 12868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
65	20, 22	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ⁺)
66	65	sqrtgt0d 13999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
67	66	gt0ne0d 10471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (√‘(2 · (2 · 𝑛))) ≠ 0)
68	20	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
69	6, 7, 68, 25	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 0)
70	8, 12, 69, 15	divne0d 10696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) / e) ≠ 0)
71		2z 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
73	72, 27	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
74	61, 70, 73	expne0d 12876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)) ≠ 0)
75	60, 62, 67, 74	mulne0d 10558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))) ≠ 0)
76	63, 75, 72	expne0d 12876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
77	58, 64, 76	divcan1d 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((!‘(2 · 𝑛))↑2))
78	57, 63, 75, 53	expdivd 12884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
79	78	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
80	79	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛))↑2) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
81	77, 80	eqtr3d 2646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
82		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (!‘𝑛) = (!‘𝑚))
83		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
84	83	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑚)))
85		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / e) = (𝑚 / e))
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
87	85, 86	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑚 / e)↑𝑚))
88	84, 87	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
89	82, 88	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
90	89	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
91	31, 90	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐴 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))))
93		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (!‘𝑚) = (!‘(2 · 𝑛)))
94		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (2 · 𝑚) = (2 · (2 · 𝑛)))
95	94	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (√‘(2 · 𝑚)) = (√‘(2 · (2 · 𝑛))))
96		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → (𝑚 / e) = ((2 · 𝑛) / e))
97		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → 𝑚 = (2 · 𝑛))
98	96, 97	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((𝑚 / e)↑𝑚) = (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))
99	95, 98	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
100	93, 99	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (2 · 𝑛) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((!‘𝑚) / ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
102		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
104		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
105	103, 104	nnmulcld 10945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
106	57, 63, 75	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ∈ ℂ)
107	92, 101, 105, 106	fvmptd 6197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))))
108	107	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2))
109	108	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) = ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2))
110	109	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
111		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
112	99	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
113	111, 112, 105, 63	fvmptd 6197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
114	113	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
115	114	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2))
116	115	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
117	81, 110, 116	3eqtrd 2648	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
118	88	cbvmptv 4678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
120	119	fveq1d 6105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)))
121	120	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
122	121	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2))
123	122	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)))
124	107, 106	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
125		stirlinglem3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴‘(2 · 𝑛)))
126	125	fvmpt2 6200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐴‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ) → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
127	124, 126	mpdan 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) = (𝐴‘(2 · 𝑛)))
128	127	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) = (𝐷‘𝑛))
129	128	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐷‘𝑛)↑2))
130	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
131	130	fveq1d 6105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)))
132	131	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛)) = (𝐸‘(2 · 𝑛)))
133	132	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2) = ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))
134	129, 133	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘(2 · 𝑛))↑2) · (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
135	117, 123, 134	3eqtrd 2648	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛))↑2) = (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))
136	51, 135	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) = (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
137	136	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
138	137	mpteq2ia 4668	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · ((!‘𝑛)↑4)) / ((!‘(2 · 𝑛))↑2)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
139	41, 2	nn0mulcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
140	6, 139	expcld 12870	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
141	49, 44	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) ∈ ℂ)
142	140, 141	mulcomd 9940	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))))
143	142	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
144	143	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
145	127, 124	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ∈ ℂ)
146	145	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ∈ ℂ)
147	130, 119	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝐸 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((√‘(2 · 𝑚)) · ((𝑚 / e)↑𝑚))))
148	147, 112, 105, 63	fvmptd 6197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) = ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))))
149	148, 63	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
150	149	sqcld 12868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
151		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘(2 · 𝑛)) ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
152	54, 55, 151	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
153	57, 63, 152, 75	divne0d 10696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((!‘(2 · 𝑛)) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))) ≠ 0)
154	107, 153	eqnetrd 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
155	127, 154	eqnetrd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑛) ≠ 0)
156	145, 155, 72	expne0d 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷‘𝑛)↑2) ≠ 0)
157	148, 75	eqnetrd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐸‘(2 · 𝑛)) ≠ 0)
158	149, 157, 72	expne0d 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
159	141, 146, 140, 150, 156, 158	divmuldivd 10721	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
160	159	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
161	160	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · (2↑(4 · 𝑛))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
162	33, 30	eqeltrd 2688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
163	162, 41	expcld 12870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐴‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
164	38, 45	eqeltrd 2688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘𝑛)↑4) ∈ ℂ)
165	163, 164, 146, 156	div23d 10717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)))
166	165	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
167	166	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
168	163, 146, 156	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) ∈ ℂ)
169	140, 150, 158	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) ∈ ℂ)
170	168, 164, 169	mulassd 9942	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))))
171	170	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)))
172	164, 169	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) ∈ ℂ)
173		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
174	8, 173	addcld 9938	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
175		0red 9920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
176	105	nnred 10912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
177		2re 10967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
179		nnre 10904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
180	178, 179	remulcld 9949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
181		1red 9934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
182	180, 181	readdcld 9948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
183	105	nngt0d 10941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < (2 · 𝑛))
184	176	ltp1d 10833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) < ((2 · 𝑛) + 1))
185	175, 176, 182, 183, 184	lttrd 10077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑛) + 1))
186	185	gt0ne0d 10471	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
187	168, 172, 174, 186	divassd 10715	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))))
188	164, 140, 150, 158	div12d 10716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))))
189	9, 17, 41	mulexpd 12885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)))
190	60, 62	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))
191	189, 190	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
192	148	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2) = (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2))
193	38, 192	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))↑4) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛))) · (((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛)))↑2)))
194	9, 41	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) ∈ ℂ)
195	60	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ∈ ℂ)
196	17, 41	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) ∈ ℂ)
197	62	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ∈ ℂ)
198	60, 67, 72	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) ≠ 0)
199	62, 74, 72	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) ≠ 0)
200	194, 195, 196, 197, 198, 199	divmuldivd 10721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) · (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4)) / (((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) · ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
201	191, 193, 200	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)) = ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))))
202	201	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))))
203	65	rprege0d 11755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))))
204		resqrtth 13844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · (2 · 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (2 · 𝑛))) → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
205	203, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2) = (2 · (2 · 𝑛)))
206	205	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))))
207		2t2e4 11054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
208	207	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 = (2 · 2)
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 = (2 · 2))
210	209	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)))
211	9, 53, 53	expmuld 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑(2 · 2)) = (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2))
212	22	rprege0d 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)))
213		resqrtth 13844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑛)) → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑2) = (2 · 𝑛))
215	214	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑2)↑2) = ((2 · 𝑛)↑2))
216	210, 211, 215	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑛))↑4) = ((2 · 𝑛)↑2))
217	6, 6, 7	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (2 · (2 · 𝑛)))
218	207	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 2) = 4)
219	218	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 2) · 𝑛) = (4 · 𝑛))
220	217, 219	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · (2 · 𝑛)) = (4 · 𝑛))
221	216, 220	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / (2 · (2 · 𝑛))) = (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)))
222	6, 7	sqmuld 12882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = ((2↑2) · (𝑛↑2)))
223		sq2 12822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2↑2) = 4
224	223	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑2) = 4)
225	224	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑2) · (𝑛↑2)) = (4 · (𝑛↑2)))
226	222, 225	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑2) = (4 · (𝑛↑2)))
227	226	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
228		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ∈ ℂ
229		4ne0 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 ≠ 0
230	228, 229	dividi 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 / 4) = 1
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 / 4) = 1)
232	7	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) = (𝑛 · 𝑛))
233	232	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛))
234	7, 7, 25	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 · 𝑛) / 𝑛) = 𝑛)
235	233, 234	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑2) / 𝑛) = 𝑛)
236	231, 235	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = (1 · 𝑛))
237	41	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
238	7	sqcld 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
239	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
240	237, 237, 238, 7, 239, 25	divmuldivd 10721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / 4) · ((𝑛↑2) / 𝑛)) = ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)))
241	7	mulid2d 9937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
242	236, 240, 241	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 · (𝑛↑2)) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
243	227, 242	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛)↑2) / (4 · 𝑛)) = 𝑛)
244	206, 221, 243	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) = 𝑛)
245	7, 237	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 4) = (4 · 𝑛))
246	245	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)))
247	16, 41, 2	expmuld 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(𝑛 · 4)) = (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4))
248	7, 12, 15, 139	expdivd 12884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 / e)↑(4 · 𝑛)) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
249	246, 247, 248	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
250	6, 7, 6	mul32d 10125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = ((2 · 2) · 𝑛))
251	250, 219	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) · 2) = (4 · 𝑛))
252	251	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)))
253	61, 53, 54	expmuld 12873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑((2 · 𝑛) · 2)) = ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))
254	8, 12, 15, 139	expdivd 12884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) / e)↑(4 · 𝑛)) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
255	252, 253, 254	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2) = (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))))
256	249, 255	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))))
257	249, 196	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
258	8, 139	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
259	12, 139	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
260	46, 27	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 · 𝑛) ∈ ℤ)
261	8, 69, 260	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
262	12, 15, 260	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (e↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
263	257, 258, 259, 261, 262	divdiv2d 10712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) / (((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛)))) = ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
264	7, 139	expcld 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ∈ ℂ)
265	264, 259, 262	divcan1d 10681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) = (𝑛↑(4 · 𝑛)))
266	265	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))))
267	6, 7, 139	mulexpd 12885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛)) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))))
268	267	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))))
269	140, 264	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛))))
270	269	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
271	7, 25, 260	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
272	6, 68, 260	expne0d 12876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2↑(4 · 𝑛)) ≠ 0)
273	264, 264, 140, 271, 272	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((𝑛↑(4 · 𝑛)) · (2↑(4 · 𝑛)))))
274	264, 271	dividd 10678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) = 1)
275	274	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (𝑛↑(4 · 𝑛))) / (2↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
276	270, 273, 275	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(4 · 𝑛)) / ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛↑(4 · 𝑛)))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
277	266, 268, 276	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛↑(4 · 𝑛)) / (e↑(4 · 𝑛))) · (e↑(4 · 𝑛))) / ((2 · 𝑛)↑(4 · 𝑛))) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
278	256, 263, 277	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)) = (1 / (2↑(4 · 𝑛))))
279	244, 278	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2))) = (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))))
280	279	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
281	140, 272	reccld 10673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (2↑(4 · 𝑛))) ∈ ℂ)
282	140, 7, 281	mul12d 10124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (𝑛 · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))))
283	7	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
284	140, 272	recidd 10675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛)))) = 1)
285	284	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = (𝑛 · 1))
286	283, 285, 235	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · ((2↑(4 · 𝑛)) · (1 / (2↑(4 · 𝑛))))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
287	280, 282, 286	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2↑(4 · 𝑛)) · ((((√‘(2 · 𝑛))↑4) / ((√‘(2 · (2 · 𝑛)))↑2)) · ((((𝑛 / e)↑𝑛)↑4) / ((((2 · 𝑛) / e)↑(2 · 𝑛))↑2)))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
288	188, 202, 287	3eqtrd 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) = ((𝑛↑2) / 𝑛))
289	288	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)))
290	238, 7, 174, 25, 186	divdiv1d 10711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛↑2) / 𝑛) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
291	289, 290	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1))))
292	291	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
293	187, 292	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · (((𝐸‘𝑛)↑4) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2)))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
294	167, 171, 293	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4)) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((2↑(4 · 𝑛)) / ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
295	144, 161, 294	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1)) = ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
296	295	mpteq2ia 4668	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((2↑(4 · 𝑛)) · (((𝐴‘𝑛)↑4) · ((𝐸‘𝑛)↑4))) / (((𝐷‘𝑛)↑2) · ((𝐸‘(2 · 𝑛))↑2))) / ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))
297	1, 138, 296	3eqtri 2636	1 ⊢ 𝑉 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝐴‘𝑛)↑4) / ((𝐷‘𝑛)↑2)) · ((𝑛↑2) / (𝑛 · ((2 · 𝑛) + 1)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 ≤ cle 9954 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 4c4 10949 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℝ⁺crp 11708 ↑cexp 12722 !cfa 12922 √csqrt 13821 eceu 14632

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-ico 12052 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-seq 12664 df-exp 12723 df-fac 12923 df-bc 12952 df-hash 12980 df-shft 13655 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-limsup 14050 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-ef 14637 df-e 14638

This theorem is referenced by: stirlinglem15 38981

W3C validator